1、核心素养测评七十二 古典概型、几何概型(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率是()A.B.C.D.【解析】选 A.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 3 个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共 10 个,取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共 3
2、 个,故所求概率 P=.2.已知 a-2,0,1,2,3,b3,5,则函数 f(x)=(a2-2)ex+b 为减函数的概率是()A.B.C.D.【解析】选 C.函数 f(x)=(a2-2)ex+b 为减函数,则 a2-20,满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有 9 个,故所求概率为=.答案:9.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为 A.若 A 是不超过 5 的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为 1 的概率为_.【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过 5 的两位数有:10,
3、12,14,21,23,30,32,41,50,共 9 个,其中个位是 1 的有 21,41,共 2 个,因此所求的概率为.答案:10.m-2,-1,0,1,2,n-1,0,1,随机抽取一个 m 和一个 n,使得平面向量 a=(m,n),满足|a|2 的概率为_.【解析】向量 a 的所有可能情况是:(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),满足|a|2 即 m2+n24 的有(-2,-1),(-2,1),(2,-1),(2,1),所以所
4、求概率为.答案:(15 分钟 35 分)1.(5 分)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字 0 与 1,另一张的正反面分别写着数字 2 与 3,将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是()A.B.C.D.【解析】选 C.将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数有 12,13,20,21,30,31,共 6 个,两位数为奇数的有 13,21,31,共 3 个,故所组成的两位数为奇数的概率为=.2.(5 分)在边长为 a 的正三角形内任取一点 P,则点 P 到三个顶点的距离均大于 的概率是()A.-B.1-C.D.【解析】选 B.如图正ABC 的边长为 a,分别以它的三个
5、顶点为圆心,以 为半径在ABC 内部画圆弧,得三个扇形,则题中点 P 在这三个扇形外,因此所求概率为 P=1-.3.(5 分)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_.【解析】从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,有 6 种方法.红色和紫色的花在同一花坛,有 2 种方法;红色和紫色的花不在同一花坛,有 4 种方法,所以所求的概率为=.答案:【一题多解】将红、黄、白、紫记为 1,2,3,4,由列举法可得,有(12,34),(13,
6、24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),共 6 种情况 则所求概率 P=.答案:4.(10 分)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h,乙船停泊时间为 2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【解析】设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y,记事件 A 为“两船都不需要等待码头空出”,则 0 x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h以上,即 y-x1 或 x-y2.故所求事件构成集合 A=(x,y)|y-x
7、1 或 x-y2,x0,24,y0,24.A 为图中阴影部分,全部结果构成集合为边长是 24 的正方形及其内部.所求概率为 P(A)=.5.(10 分)设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,令平面向量 a=(m,n),b=(1,-3).(1)求事件“ab”发生的概率.(2)求事件“|a|b|”发生的概率.【解析】(1)由题意知,m1,2,3,4,5,6,n1,2,3,4,5,6,故(m,n)所有可能的取法共 36 种.因为 ab,所以 m-3n=0,即 m=3n,有(3,1),(6,2),共 2 种,所以事件 ab 发生的概率为=.(2)由|a|b|,得 m2+n210,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共 6 种,其概率为=.