1、选修44坐标系与参数方程第一讲坐标系知识梳理双基自测知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称_伸缩_变换知识点二极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴，平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画(如图)，这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标，称为_极径_，称为_极角_(2)极坐标与直
2、角坐标的互相转化：互相转化的前提条件：a_极点_与坐标原点重合；b_极轴_与x轴正半轴重合，的射线与y轴正半轴重合；c取相同的单位长度互相转化公式：设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(，)，则互相转化公式为知识点三直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程：直线极坐标方程图形过极点，倾斜角为_(R)或_(R)(_和_(0)过点(a,0)，与极轴垂直_cos_a过点，与极轴平行_sin_a(0)(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，直线l的极坐标方程为：sin()_0sin(0)_知识点四半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐
3、标方程：圆心的极坐标圆的极坐标方程图形(0,0)_r_(02)(r,0)_2rcos_2rsin_(0)(r，)_2rcos_2rsin_(2)(2)一般位置的圆的极坐标方程：圆心为M(0，0)，半径为r的圆的极坐标方程为_220cos(0)r20_题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若点P的直角坐标为(1，)，则点P的一个极坐标是()(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(3)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线()(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为2asin ()题组二走进教材2(P15T47)在极坐标系中，圆2si
4、n 的圆心的极坐标是(B)ABC(1,0)D(1，)解析由2sin，得22sin，化为普通方程x2(y1)21，其圆心坐标为(0，1)，所以其极坐标为，故应选B题组三走向高考3(2018北京高考)在极坐标系中，直线cos sin a(a0)与圆2cos 相切，则a_1_解析由可将直线cos sin a化为xya0，将2cos ，即22cos 化为x2y22x，整理成标准方程为(x1)2y21又直线与圆相切，圆心(1,0)到直线xya0的距离d1，解得a1，a0，a14(2019江苏)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为sin3(1)求A、B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离解析解
5、法一：(1)设极点为O，在AOB中，由余弦定理得|AB|(2)因为直线l的方程为sin3，则直线l过点，倾斜角为又B，点B到直线l的距离为(3)sin2解法二：(1)A、B两点直角坐标为A，B(0，)，|AB|(2)由sin3得(sin cos )6，又xcos ，ysin ，直线l的方程为xy30，B到直线l的距离d25(2020新课标卷)已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：(为参数)，C2：(t为参数)(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程解析(1)由cos2
6、sin2 1得C1的普通方程为：xy4；由得：，两式作差可得C2的普通方程为：x2y24(2)由得即P；设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中a0，则22a2，解得：a，所求圆的半径r，所求圆的直角坐标方程为：2y22，即x2y2x，所求圆的极坐标方程为cos 考点突破互动探究考点一平面直角坐标系下伸缩的变换例1 (1)在同一平面直角坐标系中，直线2xy4变成xy2的伸缩变换是(C)ABCD(2)求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标解析(1)设其伸缩变换为：则xy2,2x2y4，于是解得所以：故选C(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，由条件可知，将代入x21中，得1，化简得1
7、，即1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，且焦点为F1(5,0)，F2(5,0)名师点拨伸缩变换公式应用时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式建立联系(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)0，一般都要改写为方程f(X，Y)0，再利用换元法确定伸缩变换公式变式训练1在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形(1)2x3y0；(2)x2y21解析由伸缩变换得到(*)(1)将(*)代入2x3y0，得到经过伸缩变换后的图形方程是xy0因此，经过伸缩变换后
8、，直线2x3y0变成直线xy0(2)将(*)代入x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是1因此，经过伸缩变换后，圆x2y21变成椭圆1考点二极坐标与直角坐标的互化例2 (1)将直角坐标方程与极坐标方程互化y24x；x2y22x10；2cos 24；(2)(2018课标卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程22cos 30求C2的直角坐标方程；若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解析(1)将xcos ，ysin 代入y24x得2sin2 4cos ，即sin24cos 0将xcos ，ysin 代入x
9、2y22x10得22cos 10由2cos 24得2cos22sin24，将cos x，sin y代入得x2y24由得2cos 1，42(cos )22cos 1，将2x2y2，cos x代入得3x24y22x10(2)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24由知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一
10、个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0，经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2名师点拨(1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将xcos 及ysin 直接代入并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，再进行整体代换其中方程的两边同乘(或同除以)及方程两边同时平方是常用的变形方法但对方程进行变形时
11、，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验变式训练2(2021河北唐山模拟)在直角坐标系xOy中，圆C1：(x1)2y21，圆C2：(x2)2y24以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C1，C2的极坐标方程；(2)设A，B分别为C1，C2上的点，若OAB为等边三角形，求|AB|解析(1)依题意可得，圆C1：(x1)2y21；圆C2：(x2)2y24，所以C1：x2y22x，C2：x2y24x，因为x2y22，xcos ，所以C1：2cos ；C24cos (2)因为C1，C2都关于x轴对称，OAB为等边三角形，所以不妨设A(A，)，B，0依题意可得，A2cos ，B4c
12、os从而2cos 4cos，整理得，2cos sin ，所以tan ，又因为0，所以cos ，|AB|OA|A考点三,求曲线的极坐标方程例3(2019课标全国，22)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解析(1)M(0，0)在C上，当0时，04sin 2由已知得|OP|OA|cos 2设Q(，)为l上除P外的任意一点，在RtOPQ中，cos|OP|2经检验，点P在曲线cos2上l的极坐标方程为cos2(2)设P(，)，在
13、RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos 因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是P点轨迹的极坐标方程为4cos ，变式训练3(2019课标全国，22)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解析(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2
14、cos (2)设P(，)，由题设及(1)知：若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得综上，P的极坐标为或或或名师点拨求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程注：也可先求曲线的直角坐标方程再化成极坐标方程考点四,简单曲线的极坐标方程及应用例4(2020广东化州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()
15、3，且曲线C1与C2恰有一个公共点(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)已知曲线C1上两点A，B满足AOB，求AOB面积的最大值解析(1)曲线C2的极坐标方程为sin3，即sin cos 3，将sin y，cos x代入上式可得C2直角坐标方程为yx3，即xy60，所以曲线C2为直线又曲线C1是圆心为(2,0)，半径为|r|的圆，因为圆C1与直线C1恰有一个公共点，所以|r|2，所以圆C1的普通方程为x2y24x0，把x2y22，xcos 代入上式可得C1的极坐标方程为24cos 0，即4cos (2)由题意可设A(1，)，B，(10，20)，SMON|sin 124cos cos4(cos2s
16、in cos )422cos所以当cos1时，AOB的面积最大，且最大值为22例5(2020山西省晋中市一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C3的极坐标方程为4cos ，点A是曲线C2与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于极点O，求|AB|的值解析(1)曲线C1的参数方程为(为参数)转换为普通方程为x2(y2)24曲线C2的极坐标方程为转换为直角坐标方程为：yx(x0)(2)曲线C1的参数方程为(为参数)转换为极坐标方程为：4
17、sin 所以解得：12，22整理得|AB|12|22名师点拨1解决极坐标问题的一般思路：(1)如果对极坐标的意义和应用不太熟悉，可将极坐标方程化为直角坐标方程，求出曲线方程或交点坐标，再将其化为极坐标的形式；(2)直接建立或求解极坐标方程，再结合题意求解2利用的几何意义解题已知直线l与曲线C的极坐标方程，且直线l与曲线C交于A，B两点，则利用极坐标方程中的极径解题时，一般将直线l的极坐标方程与曲线C的极坐标方程联立，消去极角，得到关于的一元二次方程，即可利用根与系数的关系求弦长(弦AB的长|AB|12|，其中1，2为一元二次方程的解)或者求弦长的取值范围等变式训练4(2017全国)在直角坐标系
18、xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解析(1)设点P的极坐标为(，)(0)，点M的极坐标为(1，)(10)由题意知|OP|，|OM|1由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22当时，S取得最大值2，所以OAB面积的最大值为2