1、第4讲万有引力与航天万有引力定律1内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比2公式FG，其中G6.671011 Nm2/kg2，叫引力常量3适用条件公式适用于质点间的相互作用当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离万有引力定律的基本应用1基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供2基本公式Gmgrma其中gr为距天体中心r处的重力加速
2、度三种宇宙速度宇宙速度数值(km/s)意义第一宇来源:学+科+网Z+X+X+K宙速度(环绕速度)7.9这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若7.9 km/sv11.2 km/s，物体绕地球运行第二宇宙速度(逃逸速度)11.2这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/sv16.7 km/s，物体绕太阳运行第三宇宙速度16.7这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行来源:学科网1(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的2.7107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约
3、为月球绕地球运行的轨道半径的400倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是()A太阳引力远大于月球引力B太阳引力与月球引力相差不大C月球对不同区域海水的吸引力大小相等D月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【解析】设太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m，太阳到地球距离为r1，月球到地球距离为r2，由题意2.7107，400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F1，月球对海水的引力F2，则，故A选项正确，B选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C选项错误，D选项正确【答案】AD2如图441所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带假设该带中的小行星只受
4、到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动下列说法正确的是()图441A太阳对各小行星的引力相同B各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值【解析】根据FG，小行星带中各小行星的轨道半径r、质量m均不确定，因此无法比较太阳对各小行星引力的大小，选项A错误；根据Gm()2r得，T2，因小行星绕太阳运动的轨道半径大于地球绕太阳运动的轨道半径，故小行星的运动周期大于地球的公转周期，即大于一年，选项B错误；根据Gma得a，所以内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；根据
5、G，得v，所以小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误【答案】C3为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国已发射第一颗火星探测器“萤火一号”假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出()来源:学+科+网Z+X+X+KA火星的密度和火星表面的重力加速度B火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C火星的半径和“萤火一号”的质量D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力【解析】由“萤火一号”分别在两个不同的圆轨道上做匀速圆周运动可
6、知：Gm()2(h1R)；Gm()2(h2R)，两式联立可求得火星的质量M与火星的半径R，由火星的半径R可求出火星的体积，进一步求出火星的密度，再根据黄金公式：GMgR2，可求得火星表面处的重力加速度g，故A项对【答案】A42012年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8107 m它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2107 m)相比()A向心力较小B动能较大C发射速度都是第一宇宙速度D角速度较小【解析】由F向F万G知，中圆轨道卫星的向心力大于同步轨道卫星(G、M、m相同)的向心力，故A错误由Ekmv2，v，得Ek，且由R中R同知，中圆轨道卫星动能较大，故
7、B正确第一宇宙速度是最小的卫星发射速度，故C错误由可知，中圆轨道卫星角速度大，故D错误【答案】B天体质量和密度的计算1.基本规律把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供Gmm2rm()2rm(2f)2r2中心天体的质量M、密度的估算(1)利用卫星的轨道半径r和周期T测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由Gm()2r，可得天体质量为：M.该中心天体密度为：(R为中心天体的半径)当卫星沿中心天体表面运行时，rR，则.(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R由于Gmg，故天体质量M，天体密度.(2012福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v
8、.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.B.C.D.【解析】设卫星的质量为m由万有引力提供向心力，得Gmmmg由已知条件：m的重力为N得Nmg由得g，代入得：R代入得M，故A、C、D三项均错误，B项正确【答案】B解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即Gmg，整理得GMgR2，称为黄金代换(g表示天体表面的重力加速度)(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即Gmmr2mman.【迁移应用】1如图442所示，是美国的“卡
9、西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知万有引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是()图442AM，BM，CM，DM，【解析】设“卡西尼”号的质量为m，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，Gm(Rh)()2，其中T，解得M.又土星体积VR3，所以.【答案】D卫星的发射、运行和变轨1.卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内同步卫星就是其中的一种(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内如极地气
10、象卫星来源:Zxxk.Com(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心2卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)卫星在圆轨道上的稳定运行Gmmr2mr()2，由此可推出(2)变轨运行分析当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加当卫星的速度减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收
11、就是利用了这一原理)(2013广东高考)如图443，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动下列说法正确的是()A甲的向心加速度比乙的小B甲的运行周期比乙的小C甲的角速度比乙的大D甲的线速度比乙的大图443【解析】卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题根据Gma得a，故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据Gm()2r，得T2，故甲的运行周期大，选项B错误；根据Gm2r，得，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G，得v，故甲运行的线速度小，选项D错误【答案】A【迁移应用】卫星的运行特点分析2(2012天津高考
12、)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的()A向心加速度大小之比为41B角速度大小之比为21C周期之比为18D轨道半径之比为12【解析】根据Ekmv2得v，所以卫星变轨前、后的速度之比为.根据Gm，得卫星变轨前、后的轨道半径之比为，选项D错误；根据Gma，得卫星变轨前、后的向心加速度大小之比为，选项A错误；根据Gm2r，得卫星变轨前、后的角速度大小之比为，选项B错误；根据T，得卫星变轨前、后的周期之比为，选项C正确【答案】C卫星的变轨分析3. (多选)(2013届湖南衡阳八中模拟)2012年6月18日早上5
13、点43分“神舟九号”飞船完成了最后一次变轨，在与“天宫一号”对接之前“神舟九号”共完成了4次变轨，“神舟九号”某次变轨的示意图如图444所示，在A点从椭圆轨道进入圆形轨道，B为轨道上的一点关于飞船的运动，下列说法中正确的有()图444A在轨道上经过A的速度小于经过B的速度B在轨道上经过A的动能小于在轨道上经过A的动能C在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期D在轨道上经过A的加速度小于在轨道上经过A的加速度【解析】轨道为椭圆轨道，根据开普勒第二定律，飞船与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，可知近地点的速度大于远地点的速度，故A正确根据开普勒第三定律，飞船在轨道和轨道满足：，又Ra，可知T
14、T，故C正确飞船在A点变轨时，从轨道进入轨道需加速，又Ekmv2，故B正确无论在轨道上还是在轨道上，A点到地球的距离不变，飞船受到的万有引力一样，由牛顿第二定律可知向心加速度相同，故D错误【答案】ABC“双星”模型1.双星系统宇宙中往往会有相距较近，质量相差不多的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对他们的万有引力可以忽略不计在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星系统2双星系统的特点(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等；(2)两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；(3)两
15、星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1r2L.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图445所示引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.图445(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m(用m1、m2表示)；(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式【解析】(1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2
16、，角速度均为由双星所受向心力大小相同，可得m12r1m22r2设A、B之间的距离为L，又Lr1r2由上述各式得Lr1由万有引力定律得，双星间的引力FG将式代入式得FG由题意，将此引力视为O点处质量为m的星体对可见星A的引力，则有FG比较可得m.(2)对可见星A，有Gm1来源:学科网可见星A的轨道半径r1由式解得.【答案】(1)m(2)【即学即用】(2012重庆高考)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为71，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动由此可知，冥王星绕O点运动的()A轨道半径约为卡戎的B角速度大小约为卡戎的C线速度大小约为卡戎的7倍D向心力大小约为卡戎的7倍【解析】本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由Gm12r1m22r2(L为两星间的距离)，因此，故A对，C错【答案】A版权所有：高考资源网()