1、第1讲等差数列与等比数列 考点1等差数列、等比数列的基本运算1通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.2求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)例1(1)2019全国卷记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n(2)2019全国卷记Sn为等差数列an的前n项和若a35，a713，则S10_.【解析】(1)本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算方法一设等差数列an的公差为d，解得ana1(n1)d32(n1)2n5，Sn
2、na1dn24n.故选A.方法二设等差数列an的公差为d，解得选项A，a12153；选项B，a131107，排除B；选项C，S1286，排除C；选项D，S12，排除D.故选A.(2)设等差数列an的公差为d，则由题意，得解得所以S101012100.【答案】(1)A(2)100等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q)(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.对接训练12019河北衡水中学摸底已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S10100，则a7的值为()A11 B12C13 D14解析：an的公
3、差为2，S10100，10a190100，a11，a713，故选C.答案：C22019湖南重点高中联考已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，公差d0，a1，a2，a5成等比数列，则S5()A15 B20C21 D25解析：由已知得aa1a5，即(1d)21(14d)，又d0得d2，S55225，故选D.答案：D 考点2等差、等比数列的判定与证明1证明数列an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2anan1an1(n2)2证明数列an是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明(nN*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明aan
4、1an1(n2)例22019广东广州调研测试设Sn是数列an的前n项和，已知a37，an2an1a22(n2)(1)证明：数列an1为等比数列；(2)求数列an的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？【解析】(1)证明：因为a37，a33a22，所以a23，则an2an11，取n2，得a22a11，解得a11.由an2an11(n2)，得an12(an11)，即2，所以数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列(2)由(1)知，an122n12n，即an2n1，所以Snn2n1n2.于是nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0，所以nSn2an，即n，an，Sn成等差数列.(1)
5、判断一个数列是等差(等比)数列，有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可(3)aan1an1(n2，nN*)是an为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.对接训练3已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值(2)设bnan3，证明数列bn为等比数列，并求通项公式an.解析：(1)因为数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)所以n1时，由a1S12a131，解得a13，n2时，由S22a232，得a29，n3时，
6、由S32a333，得a321.(2)证明：因为Sn2an3n，所以Sn12an13(n1)，两式相减，得an12an3，把bnan3及bn1an13，代入式，得bn12bn(nN*)，且b16，所以数列bn是以6为首项，2为公比的等比数列，所以bn62n1，所以anbn362n133(2n1) 考点3等差、等比数列的性质等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(q1)例
7、3(1)2019长春市质量监测(一)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，已知S630，S970，则S3_；(2)2019福建泉州第十六中学月考设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S170，S180且q1)，由题意可得，得，又由q0，得q32，再由，得S3S610.优解由题意可得(S6S3)2S3(S9S6)，即(30S3)240S3，即S100S39000，解得S310或S390，又数列an的各项均为正数，所以S30，S180,9(a9a10)0，a100且公差d0,10n15时，0，又1n8时，0an1Sn0，最大【答案】(1)10(2)等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解决此
8、类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若mnpq，则amanapaq”这一性质与求和公式Sn的综合应用.对接训练4一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1()A11 B12C13 D14解析：设数列an的公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶因为数列an的项数为偶数，所以q.又a1(a1q)(a1q2)64.所以aq364，故a112.答案：B52019内蒙古呼和浩特一中摸底已知数列an是
9、递减的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和Sn()A8 B16C2n38 D162n3解析：设等比数列an的公比为q，a2a38，a1a48，又a1a49且数列an是递减数列，a18，a41，q3，q，Sn16，故选B.答案：B62019江苏常州月考已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2a3a108，则S9_.解析：设等差数列an的公差为d，a2a3a108，3a112d8，a14da5，S99a524.答案：24 考点4数列与新定义相交汇问题例42019山西太原期末对于数列an，定义Hn为an的“优值”，已知数列an的“优值”Hn2n1，记数列an20的前n项和为Sn，则
10、Sn最小值为()A70 B72C64 D68【解析】数列an的“优值”Hn2n1，Hn2n1，a12a22n1ann2n1，2n1ann2n1(n1)2n(n2)，an4n2(n1)2n2(n2)，又a14，满足上式，an2n2(nN*)，an202n18，由得8n9，Sn的最小值为S8S972，故选B.【答案】B数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论.对接训练7在数列an中，nN*，若k(k为常数)，则称an为“等差比数列”，下列是对“等差比数
11、列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是_解析：k0时，分子an2an10，数列an可为常数数列，则an1an0，但分母不可为0，推出矛盾，k不可能为0，正确；同理中d0，中q1时分母都为0，不成立，错误；例如数列0,1,0,1，为等差比数列，正确答案：课时作业 9等差数列与等比数列12019河南龙泉中学模拟已知数列an满足an1an3(nN*)，若1，则a4的值为()A2 B4C12 D16解析：因为an1an3(nN*)，所以数列an是公差为3的等差数列，1，所以a13，所以a43331
12、2，故选C.答案：C22019山东淄博一中月考在等差数列an中，a3a7a101，a11a421，则数列an的前8项和为()A50 B70C120 D100解析：设等差数列an的公差为d，a11a421，7d21，d3，又a3a7a101，a1d1，a12，数列an的前8项和为100，故选D.答案：D32019陕西西安远东中学期中已知等比数列an的前n项和为Sn，S3a210a1，a59，则a1()A. BC. D解析：设数列an的公比为q，S3a210a1，a39a1，q29，又a59，a1q49，a1，故选C.答案：C42019安徽合肥联考已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a
13、2a33，a4a5a66，则S12等于()A45 B60C35 D50解析：通解a1a2a33，a4a5a66，S33，S6S36，易知S3，S6S3，S9S6，S12S9成等比数列，S9S612，S12S924，又S69，S921，S1245，故选A.优解a1a2a33，a4a5a66，S33，S6S36，易知S3，S6S3，S9S6，S12S9成等比数列，S3(S6S3)(S9S6)(S12S9)S12，S1245，故选A.答案：A52019天津南开中学月考设Sn是等差数列an的前n项和，S53(a2a8)，则的值为()A. B.C. D.解析：S53(a2a8)，5a1d3(a1da17
14、d)，a114d，故选D.答案：D62019广西柳州二中月考已知等差数列an的前n项和为Sn，若a13，S315，则a7()A11 B12C9 D15解析：通解an为等差数列， S315，3a215，a25，又a13，公差为2，a736215，故选D.优解a13，S315，a2a312，a1a412，a49，a1a72a418，a715，故选D.答案：D72019河北保定模拟已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9()A4 B5C8 D15解析：a3a114a7，a4a7，a70，a74，b74，b5b92b78，故选C.答案：C82019贵州贵阳期中
15、设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则()A11 B5C11 D8解析：设等比数列an的公比为q，8a2a50，q38，q2，11，故选C.答案：C92019辽宁沈阳联合体月考已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：若S4S62S5，则a6a5，即da6a50；若d0，则a6a5，则S4S62S4a5a62S42a52S5.所以“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件，故选C.答案：C102019甘肃兰州六中期中已知Sn为等差数列an的前n项和，且S918，Sn24
16、0，an430(n9)，则n()A10 B14C15 D17解析：an为等差数列，S918，9a518，a52，又an430(n9)，a1ana5an432，Sn16n240，n15，故选C.答案：C112019甘肃天水二中月考已知数列an的首项a12，数列bn为等比数列，且bn，若b10b112，则a21()A29 B210C211 D212解析：b10b112，b1b2b10b11b19b20210，又bn，210，210，又a12，a21211，故选C.答案：C122019河北唐山四校联考已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，公比q为正数且不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原
17、来的顺序)是等差数列，则q的值为()A. B.C. D.解析：因为公比q不为1，所以删去的不是a1，a4.若删去a2，则由2a3a1a4，得2a1q2a1a1q3，因为a10，所以2q21q3，整理得q2(q1)(q1)(q1)，又q1，所以q2q1，又q0，所以q；若删去a3，则由2a2a1a4，得2a1qa1a1q3，因为a10，所以2q1q3，整理得q(q1)(q1)q1，又q1，所以q(q1)1，又q0，所以q.综上，q，故选B.答案：B132019全国卷记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_.解析：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算求解能力，
18、考查的核心素养是逻辑推理、数学运算通解设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.优解设等比数列an的公比为q，因此aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.答案：142019山西太原月考已知等差数列an的公差为d，且d0，若a3，a4，a7成等比数列，则_.解析：a3，a4，a7成等比数列，aa3a7，(a13d)2(a12d)(a16d)，化简得3d22a1d，d0，da1，.答案：152019贵州同仁一模记Sn为数列an的前n项和，若Sn2an1，则S6_.解析：通解由题意得，当n1时，a12a11，
19、解得a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)2an2an1，整理得，an2an1(n2)，故an是以1为首项，2为公比的等比数列，因此S663.优解Sn2an1，Sn2Sn2Sn11(n2且nN*)，即Sn2Sn11(n2且nN*)，Sn12(Sn11)(n2且nN*)，Sn1是公比为2的等比数列又S12S11，S11，S112，Sn12n，Sn2n1，S663.答案：63162019北京大兴期末在首项为正数的等差数列an中，则当其前n项和Sn取最大值时，n的值为_解析：通解设数列an的公差为d，5(a12d)7(a13d)，2a111d0，da1，Sna1n2a1n(n6)2a1，又a10，当n6时，Sn最大优解一设数列an的公差为d，5(a12d)7(a13d)，2a111d0，a6a70，a10，d0，a70，S6最大，满足题意的n的值为6.优解二，5a37a4，S5S7，S6最大，n的值为6.答案：6