1、考点规范练23解三角形考点规范练A册第16页一、基础巩固1.在ABC中,c=,A=75,B=45,则ABC的外接圆的面积为()A.B.C.2D.4答案B解析在ABC中,c=,A=75,B=45,故C=180-A-B=60.设ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=,解得R=1,故ABC的外接圆的面积S=R2=.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60,则c=()A.B.1C.D.2答案B解析由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.3.(2018广东中山质检)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对
2、边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面积S=,则b等于()A.B.4C.3D.答案A解析由题意可得,2sin Bcos B=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,cos B=,B=.又S=acsin B=1c,c=4.又b2=a2+c2-2accos B=1+16-214=13,b=.4.设ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案D解析ABC的三内角A,B,C成等差数列,B=.sin A,sin B,s
3、in C成等比数列,sin2B=sin Asin C,由正弦定理得b2=ac.在ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos ,ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c.ABC为等边三角形.5.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.75答案B解析依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在ACD中,由余弦定理,得cosCAD=,又0CAD0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A(0,),所以A=.由正弦定理,得,即
4、sin C=,所以C=,故选B.12.(2018全国,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案解析由正弦定理及条件,得bc+cb=4absin C,所以=2a,设ABC的外接圆半径为R,则=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=80,所以cos A0,0A,因为=2R,所以sin A=,A=30,所以cos A=,所以bc=,所以SABC=bcsin A=.13.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么=.答案解析在
5、ABC中,tan B=-,sin B=,cos B=-.又SABC=acsin B=2c=8,c=4,b=.14.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+bsin C=a.(1)求角B的大小;(2)若BC边上的高等于a,求cos A的值.解(1)因为bcos C+bsin C=a,由正弦定理,得sin Bcos C+sin Bsin C=sin A.因为A+B+C=,所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin(B+C).即sin Bcos C+sin Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C.因为sin C0,所以sin B=cos B.因为cos B0,所以tan B=1.因为B(0,),所以B=.(2)设BC边上的高线为AD,则AD=a.因为B=,则BD=AD=a,CD=a.所以AC=a,AB=a.由余弦定理得cos A=-.三、高考预测15.ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若4S=b2+c2-a2.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2,求角C的大小.解(1)ABC中,b2+c2-a2=4S=4bcsin A=2bcsin A,cos A=sin A,tan A=,0A,A=.(2)a=2,b=2,A=,由得sin B=,0BA,B=,C=.