1、第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理双基自测知识点一直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为方法位置关系几何法代数法相交d_r_0相切d_r_0相离d_r_0知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况公切线条数外离_dr1r2_无解_4外切_dr1r2_一组实数解3相交_|r1r2|dr1r
2、2_两组不同的实数解2内切d|r1r2|(r1r2)_一组实数解_1内含0d|r1r2|(r1r2)_无解_01当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点2过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r23过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0xy0yr24直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满
3、足关系式r2d225过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(2)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(3)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2()(4)圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有2条()题组二走进教材2(必修2P132A5改编)直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则
4、|AB|_解析圆的方程可化为(x1)2(y2)2()2，又圆心(1,2)到直线l的距离为，|AB|2题组三走向高考3(2019浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m_2_，r_解析解法一：设直线2xy30为l，则ACl，又kl2，kAC，解得m2，C(0，2)，r|AC|解法二：由题知点C到直线的距离为，r|AC|，由直线与圆C相切得，解得m2，r4(2015广东)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是(A)A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0解析设直线的方程为2
5、xyc0，则由题意知，c5，所求直线的方程为2xy50或2xy50故选A5(2020高考全国)已知圆x2y26x0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(B)A1B2C3D4解析圆x2y26x0化为(x3)2y29，圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为222，故选B考点突破互动探究考点一直线与圆的位置关系的判定自主练透例1 (1)(2020广东广州综合测试)若直线kxy10与圆x2y22x4y10有公共点，则实数k的取值范围是(D)A3，)B(，3C(0，)D(，)
6、(2)(2021山东日照一中期中)已知ab0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2y2r2外一点，过点P作直线lOP，直线m的方程是axbyr2，则下列结论正确的个数是(B)mlmlm与圆相离m与圆相交A1B2C3D4(3)(2021四川资阳、遂宁等七市联考)圆x2y22x2y20上到直线l：xy0的距离为1的点共有(C)A1个B2个C3个D4个解析(1)圆x2y22x4y10的圆心为(1,2)，半径为2，由题意可知圆心到直线的距离d2，化简得320，故k(，)故选D简解：注意到直线kxy10过定点A(0,1)，且A在圆x2y22x4y10内，故k的取值范围为(，)，故选D(2)点P(a，b)
7、在圆x2y2r2外，a2b2r2，又直线l的方程为yb(xa)，即axbya2b2，又m：axbyr2，ml，又圆心O到直线m的距离dr，m与圆相交，即正确，故选B(3)圆x2y22x2y20即(x1)2(y1)24的圆心为C(1,1)，半径为r2又C到直线l的距离为d1，C上到直线l距离为1的点有3个，故选C名师点拨判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交(4)判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小变式训练1(1)(
8、2021西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(D)ABCD(2)(2021湖南五市十校联考改编)已知两点M(1,0)，N(1,0)，若直线3x4ym0上存在点P满足0，则实数m的值不是(A)A12B0C2D5解析(1)数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)，则圆心(1,0)到直线yk(x3)的距离应小于或等于半径1，即1，解得k，故选D(2)设P(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，由得x2y21，因P在直线3x4ym0上，故圆心到直线的距离d1，故m5,5，故选A考点二直线与圆的综合问题多维探究角度1圆的
9、切线问题例2 (1)过点P(2,4)作圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为(C)A3x4y40B4x3y40Cx2或4x3y40Dy4或3x4y40(2)(2021云南适应性考试)已知圆C的方程为(x3)2(y4)21，过直线l：3xay50(a0)上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为_解析(1)当斜率不存在时，x2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，则1，解得k，则切线方程为4x3y40，故切线方程为x2或4x3y40(2)设切线长最小时直线上对应的点为P，则PCl又|CP|，因为切线长的最小值为，故()212，解得a4，故直
10、线l的斜率为故答案为：引申(1)若将本例(1)中“P(2,4)”改为“P”，则切线方程为_xy0_(2)本例(1)中过切点的直线方程为_x3y50_角度2圆的弦长问题例3 (1)(2018课标全国)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_2_(2)(2021广东广州三校联考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y24y0相交所得的弦长为2，则p的值为(C)AB1C2D4解析(1)将圆x2y22y30化为标准方程为x2(y1)24，则圆心坐标为(0，1)，半径r2，圆心到直线xy10的距离d，|AB|222(2)圆x2y24y0即x2(y2)222的圆心为C(0,2)，半
11、径为2，由题意可知圆心到准线x的距离1，p2故选C名师点拨直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题注：过圆C内一点P的最短弦所在直线与PC垂直，最长弦所在直线是PC过圆C外P作圆的切线，切点为A、B，则AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦变式训练2(1)(角度1)(2021安徽合肥调研)若直线l经过抛物线x24y的焦点且与圆(x1)2(y2)21相切，则直线l的方程为_x0或4x3y30_(2)(角度2)(2021河北衡水中学调研)过三点A(
12、1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆截直线xay20所得弦长的最小值等于(B)A2B4CD2(3)(2020安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线xy0上，圆C与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为，则圆C的方程为_(x1)2(y1)22_解析(1)抛物线x24y的焦点为F(0，1)，当直线l斜率不存在时，其方程为x0，显然与圆相切；当直线l斜率存在时，设其方程为ykx1，即kxy10，1，解得k，此时直线l的方程为4x3y30(2)设圆心坐标P为(m，2)，则r2(1m)2(32)2(4m)2(22)2，解得m1，r5，所以P(1，2)又直线过定点Q(2,0)，当直线PQ与
13、弦垂直时，弦长最短，根据圆的性质可知弦长为224，直线xay20被圆截得的弦长为4故选B(3)解法一：所求圆的圆心在直线xy0上，设所求圆的圆心为(a，a)又所求圆与直线xy0相切，半径r|a|又所求圆在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，d2()2r2，即2a2，解得a1，圆C的方程为(x1)2(y1)22解法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d，r2，即2r2(ab3)23由于所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2又圆心在直线xy0上，ab0联立，解得故圆C的方程为(x1)2(y1)22考点三,圆与圆的
14、位置关系师生共研例4 (1)(2016山东高考)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是(B)A内切B相交C外切D相离(2)已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为(C)ABCD2解析(1)由垂径定理得2()2a2，解得a24，又a0，所以a2，所以圆M：x2(y2)24，所以圆M与圆N的圆心距d因为2121，所以两圆相交故选B(2)由圆C1与圆C2相外切，可得213，即(ab)29，根据基本(均值)不等式可知ab2，当且仅当ab时等号成立故选C引申1把本例(2)中的“外
15、切”变为“内切”，求ab的最大值解析由C1与C2内切，得1即(ab)21，又ab2，当且仅当ab时等号成立，故ab的最大值为引申2把本例(2)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在直线的方程解析把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程圆C1：x2y22ax4ya20，圆C2：x2y22bx4yb230，由得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20为所求公共弦所在直线的方程引申3将本例(2)条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线xy10与圆(xa)2(yb)21的位置关系解析由两圆存在四条公切线，故两圆外离，故3，(ab)29，即ab3或ab3圆心(a，b)到直线xy10
16、的距离d1，直线xy10与圆(xa)2(yb)21相离名师点拨如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到变式训练3(2021山东济宁期末)已知圆M：(xa)2y24(a0)与圆N：x2(y1)21外切，则直线xy0被圆M截得线段的长度为(D)A1BC2D2解析由题意，21，a2，圆心M(2，0)到直线xy0的距离d1，直线xy0被圆M截得线段的长度为22，故选D名师讲坛素养提升解决直线与圆问题中的数学思想1数形结合思想例5(2021长春模拟
17、)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(B)ABCD解析SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB当AOB时，AOB面积最大此时O到AB的距离d设AB方程为yk(x)(k0)，即kxyk0由d得k2转化与化归例6(2021江西临川一中、南昌二中联考)已知两点A(2,0)，B(2,0)以及圆C：(x4)2(y3)2r2(r0)，若圆C上存在点P，满足0，则r的取值范围是(B)A3,6B3,7C4,6D4,7解析由0知PAPB，即P在以AB为直径的圆D：x2y24上，由题意可知圆C与圆D相交或相切，|r2|r2，解得3r7故选B
18、引申若将“0”改为“0”，则r的取值范围为_(3,7)_名师点拨根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，以形助数，使问题变得简单数形结合将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、易解的问题转化与化归变式训练4(2021山西模拟)直线yxb与曲线x有且仅有1个公共点，则b的取值范围是(B)A，B(1,1C1,1D1,1，解析x可化简为x2y21(x0)，所以它表示单位圆在y轴及其右侧的半圆，其与y轴的交点分别为(0,1)，(0，1)直线yxb与直线yx平行，b表示直线yxb的纵截距，将直线yx上下平移，可知当b(1,1时，直线yxb与曲线x有一个交点；当直线与曲线在第四象限相切时，只有一个公共点，此时b综上，b的取值范围是(1,1