1、第4节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1,2,3,7椭圆的几何性质4,6,8,9直线与椭圆的位置关系5,10,11,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.已知椭圆+=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于(B)(A)2(B)3(C)4(D)9解析:4=(m0)m=3,故选B.2.(2018宝鸡三模)已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是(C)(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1解析:因为F1(-1,0),F2(1,0),所以|F1F2|=2,因为|F1F2|是
2、|PF1|与|PF2|的等差中项,所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,所以点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,因为2a=4,a=2,c=1,所以b2=3.所以椭圆的方程是+=1.故选C.3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为(C)(A)+y2=1(B)x2+=1(C)+=1(D)+=1解析:依题意,设椭圆方程为+=1(ab0),则有由此解得a2=20,b2=5,因此所求的椭圆方程是+=1,选C.4.(2018广西柳州市一模)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(ab0)上一点,若PF1PF2,
3、tanPF2F1=2,则椭圆的离心率e等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(ab0)上一点,PF1PF2,tanPF2F1=2,所以=2,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a,所以x=,所以|PF2|=,则|PF1|=,由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,所以解得c=a,所以e=,选A.5.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立椭圆方程解
4、得交点为(0,-2),(,),所以SOAB=|OF|yA-yB|=1=,故选B.6.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=.解析:由题可知c=2. 当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4. 当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故实数a=4或8.答案:4或87.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则椭圆的方程为.解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0且mn).因为椭圆经过点P1,P2,所以点P1,P2的坐标适合椭圆方程.则得所以所求椭圆方程为+=1.答案:+=18.(2018安徽模拟)已知
5、F1,F2是长轴长为4的椭圆C:+=1(ab0)的左右焦点,P是椭圆上一点,则PF1F2面积的最大值为.解析:F1,F2是长轴长为4的椭圆C:+=1(ab0)的左右焦点,a=2,b2+c2=4,P是椭圆上一点,PF1F2面积最大时,P在椭圆的短轴的端点,此时三角形的面积最大,S=bc=2,当且仅当b=c=时,三角形的面积最大.答案:2能力提升(时间:15分钟)9.(2018河南一模)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:设点A(-1,0)关于直线l:y=x
6、+3的对称点为A(m,n),则得所以A(-3,2).连接AB,则|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|=2,所以2a2.所以椭圆C的离心率的最大值为=.故选A.10.(2018临沂三模)直线x+4y+m=0交椭圆+y2=1于A,B,若AB中点的横坐标为1,则m等于(A)(A)-2(B)-1(C)1(D)2解析:由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1两式相减,=-,结合直线的斜率为-,AB中点横坐标为1,所以AB中点纵坐标为,将点(1,)代入直线x+4y+m=0得m=-2.故选A.11.(2018珠海一模)过点M(1,1)作斜率为-的直线l与椭圆C:+=1(ab0
7、)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,kAB=-,+=1, +=1, -整理,得=-,即=,所以离心率e=.答案:12.(2018天津卷)设椭圆+=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(kx10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,
8、可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.当k=-时,x2=-9b0)的右焦点为(,0),且经过点(-1,-),点M是y轴上的一点,过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)若=2,且直线l与圆O:x2+y2=相切于点N,求|MN|的长.解:(1)由题意知,即(a2-4)(4a2-3)=0,因为a2=3+b23,解得a2=4,b2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)显然直线l的斜率存在,设M(0,m),直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O:x2+y2=相切,所以=,即m2=(k2+1), 由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由韦达定理,得x1+x2=-,x1x2=,由=2,有x1=-2x2,解得x1=-,x2=,所以-=,化简得-=m2-1, 把代入可得48k4+16k2-7=0,解得k2=,m2=,在RtOMN中,可得|MN|=.故|MN|的长为.