1、第六章不等式第一讲不等关系与不等式知识梳理双基自测知识点一实数的大小与运算性质的关系(1)ab_ab0_；(2)ab_ab0_；(3)ab_abbbb，bc_ac_；(3)同向可加性：abac_bc；ab，cdac_bd；(4)同向同正可乘性：ab，c0acbc；ab，c0ac_b0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0an_bn(nN，n2)；(6)可开方性：ab0(nN，n2)1ab，ab0.2a0bb0,0c.4若ab0，m0，则(bm0)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ab.()(3)ab0，cd0.
2、()(4)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(5)ab0，ab0”是“a2b20”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析0ab0a2b2，但由a2b200.3(必修5P74T3改编)设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是(C)AacbdBacbdDadbc解析由同向不等式具有可加性可知C正确题组三走向高考4(2016北京)已知x，yR，且xy0，则(C)A0Bsin xsin y0Cxy0解析x，yR，且xy0，则，sin x与sin y的大小关系不确定，xy，即xyb，则(C)Aln(ab)0B3a0D|a|b|考点突破互动探究
3、考点一比较代数式的大小自主练透例1 (1)若xy0，b0，且ab，试比较aabb与abba的大小；(3)若ab0，试比较与的大小解析(1)(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy)xy0，xy0.(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(2)aabbbaab.当ab0时，1，ab0，ab1，aabbabba；当ba0时，01，ab1，aabbabba.(3)ab0，0，0，又()2()2ab(ab2)22b，ab0，b，22b0，即()2()2，.引申本例(2)的条件下aabb_(ab).名师点拨比较两实数大小的方法比较两个代数式的大小，常用的方法有两
4、种，一种是作差法，解题步骤是：作差变形与0比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断符号另一种是作商法，解题步骤是作商变形与1比较作商法通常适用于两代数式同号的情形注意若1，b0，则ab0，cd0，则下列不等式中一定不成立的是(C)AacbdBadbcCD(2)(2021广东华附、省实、广雅、深中期末联考)设a1b1，b0，则下列不等式中恒成立的是(C)ACab2Da22b(3)(2021四省八校质检)若logablogac，则下列不等式一定成立的是(C)AabCabca解析(1)对于A，因为ab0，cd0，所以acbd成立对于B，因为acbd，所以adbc成立
5、对于C，举反例，如a6，b2，c3，d1，可知，故C不成立对于D，因为ab0，cd0，所以acbd0，故成立故选C(2)对于A，当a为正数，b为负数时，所以，A错误；对于B，当a2，b时，B不成立，所以错误；对于C,1b1b21，所以选项C正确；对于D，取反例：a1.1a21.21，b0.82b1.6，D错误(3)由题意知0a且a1，当0ac0，abac，且，从而1时，0bc，baca，D错故选C名师点拨(1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本例中幂函数、对数函数的性质等(2)
6、在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘(3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法变式训练1(1)(2021四川攀枝花统考改编)设a，b，c为实数，且ab0，则下列不等式正确的是(D)ABac2bc2Cabb2(2)(2021山东省枣庄市模拟)已知0a1,0cbacBClogba解析(1)对于A显然错误；对于B，当c0时，不正确；对于C，abb2，故选D(2)显然ba0，ca0，bcabbcac，即abacbc，故选D另解：不妨取c，ab，代入选项A，B，C都错，故选D考点三不等式性质的应用多维探究角度1应用性质判断
7、不等式是否成立例3 (2018课标，12)设alog0.20.3，blog20.3，则(B)Aabab0Babab0Cab0abDab0log0.210，blog20.3log210，ab0，排除C0log0.20.3log0.20.21，log20.3log20.51，即0a1，b1，ab0，排除Dlog20.2，blog20.3log20.2log21，b1abab，排除A故选B解法二：易知0a1，b1，ab0，ab0，log0.30.2log0.32log0.30.41，即ab，abab0.故选B角度2利用不等式的性质求范围问题例4 (1)已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_(4,2
8、)_,3x2y的取值范围是_(1,18)_.(2)(2021河北衡水中学五调)已知1a3，4b2，则a|b|的取值范围是_1,7)_.解析(1)1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6,13x2y18.(2)4b2，0|b|4，又1a3，1a|b|7.名师点拨利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围变式训练2(1)(角度1)(2021广东省清远市期末改编)已知b2
9、B2Clg a2lg(ab)D2ab2ab(2)(角度2)(2021上海金山中学期中)已知1a2,2b3，则的取值范围是_.(3)(角度2)若13，42，则的取值范围是_.解析(1)对于A，a2b2(ab)(ab)b，2，正确；对于C，a2aba(ab)0，lg a2lg(ab)，不正确；对于D，(ab)(ab)2b2ab不正确，故选B(2)2b3，又1a2，1.(3)由13得，由42得24，所以的取值范围是.故填.名师讲坛素养提升利用不等式变形求范围例5 设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_5,10_.分析用f(1)和f(1)表示f(2)，也就是把f(
10、1)，f(1)看作一个整体求f(2)，或用待定系数法求解解析yf(x)ax2bx，f(1)ab，f(1)ab.解法一：(待定系数法)设f(2)mf(1)nf(1)，又f(2)4a2b，所以4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(nm)b，可得解得所以f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，所以53f(1)f(1)10.故5f(2)10.解法二：(运用方程思想)由得所以f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，所以53f(1)f(1)10.故5f(2)10.名师点拨若题目中所给范围的式子比较复杂，一定要把这样的式子当成一个整体，利用待定系数法求解，在解题过程
11、中还要注意不等式链中的隐含条件，如ab中，千万不要忽略这一条件本例中若直接求出a，b范围，再求f(2)范围，会因扩大范围而出错变式训练3(1)已知1ab5，1ab0，y0，若1lg 2，1lg(xy)4，则lg 的取值范围是_1,5_.解析(1)设3a2bm(ab)n(ab)，则3a2b(mn)a(mn)b，解得3a2b(ab)(ab)又1ab5，1ab3，(ab)，(ab).23a2b10.(2)由1lg(xy)4，1lg 2，得1lg xlg y4，1lg xlg y2，(lg xlg y)2，(lg xlg y)3，则lg 2lg xlg y(lg xlg y)(lg xlg y)，所以1lg 5.故填1,5