1、第3讲等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab(ab0)2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式Sn等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*).(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，
2、则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk(n，kN*).(5)a1a2a3am，am1am2a2m，a2m1a2m2a3m，成等比数列(mN*).(6)若等比数列的项数为2n(nN*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则q.(7)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.(8)等比数列an满足或时，an是递增数列；满足或时，an是递减数列1已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a
3、1，则a3()A16 B8 C4 D2答案C解析由题意知解得a3a1q24.故选C.2(2020全国卷)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A12 B24 C30 D32答案D解析设等比数列an的公比为q，则a1a2a3a1(1qq2)1，a2a3a4a1qa1q2a1q3a1q(1qq2)q2，因此，a6a7a8a1q5a1q6a1q7a1q5(1qq2)q532.故选D.3(2022广西柳州模拟)设等比数列an中，公比q2，前n项和为Sn，则的值为()A B C D答案A解析S415a1，a3a1q24a1，.故选A.4设数列an的前n项和为Sn，若Sn1
4、，Sn，Sn2成等差数列，且a22，则a7()A16 B32 C64 D128答案C解析由题意得Sn2Sn12Sn，得an2an1an10，即an22an1，an从第2项起是公比为2的等比数列，a7a2q564.故选C.5(2021全国甲卷)记Sn为等比数列an的前n项和若S24，S46，则S6()A7 B8 C9 D10答案A解析解法一：因为S24，S46，且易知公比q1，所以由等比数列的前n项和公式，得两式相除，得q2，所以或所以S67.故选A.解法二：易知S2，S4S2，S6S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6S4)(S4S2)2，即4(S66)22，所以S67.故选A.6设Sn为等
5、比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5 .答案解析由aa6，得(a1q3)2a1q5，整理得q3.S5.考向一等比数列的基本运算例1(1)在等比数列an中，若a48a1且a1，a21，a3成等差数列，则其前5项和为()A30 B32 C62 D64答案C解析由题意，得a1q38a1，又a10，q2.又a1，a21，a3成等差数列，2(a21)a1a3，即2(2a11)a14a1.解得a12，S562.故选C.(2)(2021河南焦作模拟)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解设an的公比为q，由题意，得anqn1.由已知，得q44q
6、2，又q0，所以q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，数列an的前n项和Snna1；当q1时，数列an的前n项和Sn.1.(2022广州天河区高三上综合测试(一)等比数列an的前n项和为Sn，若S315，a3
7、5，则公比q的值为()A B.1C.或1 D.或1答案C解析由题设知，S3a1a2a315，又a35，故a1a210，a1(1q)10，而a1q25，即1q2q2，解得q或1.故选C.2(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k()A2 B3 C4 D5答案C解析在等式amnaman中，令m1，可得an1ana12an，2，数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，an22n12n.ak1ak2ak102k1(2101)25(2101)，2k125，则k15，解得k4.故选C.3记Sn为等比数列an的前n项和，若a11，S3，则S4 答案解析设
8、等比数列的公比为q，又a11，则ana1qn1qn1.S3，a1a2a31qq2，即4q24q10，q，S4.精准设计考向，多角度探究突破考向二等比数列的性质角度等比数列项的性质例2(1)(2021陕西省高三教学质量检测(四)已知正项等比数列an中，a2a8a4a68，则log2a1log2a2log2a9()A10 B9 C8 D7答案B解析a2a8a4a68，2a8，a52，a1a9a2a8a3a7a4a6a，log2a1log2a2log2a9log2(a1a2a9)log2a9log229，故选B.(2)在等比数列an中，公比q1，a1am17，a2am116，且前m项和Sm31，则项
9、数m 答案5解析由等比数列的性质知a1ama2am116，又因为a1am17，q1，所以a11，am16，Sm31，解得q2，ama1qm12m116.所以m5.在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形4.(2021河南中原名校质量考评)已知数列an为正项等比数列，且a1a32a3a5a5a74，则a2a6()A1 B2 C3 D4答案B解析a1a32a3a5a5a74，由等比数列的性质知a2a2a6
10、a4，即(a2a6)24.又an0，a2a62.故选B.5在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20的两根，则的值为()A BC D或答案B解析设等比数列an的公比为q，因为a3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150.证明：Sn1是等比数列；Sn1an1.证明由an1k(Sn1)可得Sn1Snk(Sn1)，则Sn1Sn(k1)k，Sn11(k1)(Sn1)，由S1a1k0，则S110，所以Sn10，所以k10.因此Sn1是以k1为首项，k1为公比的等比数列由可得Sn1(k1)n，则Sn(k1)n1，因此，当n2时，anSnSn1k(k1)n
11、1，当n1时，a1k满足ank(k1)n1，因此ank(k1)n1，所以an1k(k1)n11(k1)n11Sn1.判定一个数列为等比数列的常用方法(1)定义法：若q(q是常数)，则数列an是等比数列.(2)等比中项法：若aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若anAqn(A，q为常数)，则数列an是等比数列8.(2022甘肃张掖检测)设数列an，bn是公比不相等的两个等比数列，数列cn满足cnanbn，nN*.(1)若an2n，bn3n，是否存在常数k，使得数列cn1kcn为等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(2)证明：cn不是等比数列解(1)假设存在
12、常数k，使得数列cn1kcn为等比数列，则有(cn1kcn)2(cn2kcn1)(cnkcn1)，n2，将cn2n3n代入上式，得2n13n1k(2n3n)22n23n2k(2n13n1)2n3nk(2n13n1)，即(2k)2n(3k)3n2(2k)2n1(3k)3n1(2k)2n1(3k)3n1，整理得(2k)(3k)2n3n0，解得k2或3.(2)证明：设an，bn的公比分别为p，q，pq，cnanbn，要证cn不是等比数列只需证cc1c3，因为c(a1pb1q)2ap2bq22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)ap2bq2a1b1(p2q2)，由于pq，则p2q22
13、pq，又a1，b1不为零，因此cc1c3，故cn不是等比数列1若等比数列an的各项均为正数，a23，4aa1a7，则a5等于()A B C.12 D.24答案D解析因为数列an是等比数列，各项均为正数，4aa1a7a，所以q24，所以q2.所以a5a2q332324，故选D.2(2022贵阳调研)设等比数列an的前n项和为Sn，若a13，a424，则S6()A93 B189 C99 D195答案B解析a4a1q33q324，q2，S6189.故选B.3(2021山西太原模拟)等比数列an的前n项和为Sn，若a1a2a3a41，a5a6a7a82，Sm15，则m为()A12 B14 C15 D1
14、6答案D解析q42，由a1a2a3a41，得a11，a1q1，又Sm15，即15，qm16，q42，m16.故选D.4设等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2n1，则()A2 B1 C1 D2答案A解析依题意，得a1S14，a2S2S14，a3S3S28，因为an是等比数列，所以aa1a3，所以8(4)42，解得2.故选A.5(2022昆明一中模考)已知数列an是递减的等比数列，Sn是an的前n项和，若a2a518，a3a432，则S5的值是()A.62 B48 C36 D31答案A解析由a2a518，a3a4a2a532，得a216，a52或a22，a516(不符合题意，舍去).设数列an的
15、公比为q，则a132，q，所以S562，故选A.6(2021山西临汾模拟)设a12，数列12an是公比为2的等比数列，则a6()A31.5 B160 C79.5 D159.5答案C解析由题意，得12an(12a1)2n152n1，则an52n2.a65245168079.5.7中国古代数学名著九章算术中有如下问题今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应
16、偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为()A B C D答案D解析5斗50升设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S350，则50，解得a1，所以马主人应偿还粟的量为a22a1，故选D.8(2021江西九校联考)在等比数列an中，若a2a5，a2a3a4a5，则()A1 B C D答案C解析因为数列an是等比数列，a2a5a3a4，a2a3a4a5，所以.故选C.9(2022吉林辽源模拟)设Sn为等比数列an的前n项和，S127S4，则()A B或 C3 D3或2答案C解析解法一：不妨设S41，则S
17、127，S4，S8S4，S12S8成等比数列，(S81)27S8，解得S83或2，又S8(1q4)S40，S83，3.故选C.解法二：由题意1q4q87，即q8q460，q42或3(舍去)，1q43，故选C.10设等比数列an的前n项和为Sn，若a82a4，S44，则S8的值为()A4 B8 C10 D12答案D解析设等比数列an的公比为q，由题意知q1.因为a82a4，S44，所以解得q42，a14(1q)，所以S812.故选D.11记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，则m的值为()A4 B7 C10 D12答案A解析因为an是等比数列，所以
18、am1am1a.又am1am12am0，则a2am0，所以am2，am0(舍去).由等比数列的性质可知前2m1项积T2m1a，即22m1128，故m4.故选A.12(2021四川宜宾二诊)已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Snan3，则()A543 B546 C1013 D.1022答案A解析2Snan3，2Sn1an13(n2)，两式相减得，2ananan10，即anan1，n2，又当n1时，有2S1a13，可得a11，数列an是首项为1，公比为的等比数列，(3323336)63543，故选A.13等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q 答案2解析S33S20，即a1a2
19、a33(a1a2)0，即4a14a2a30，即4a14a1qa1q20，即q24q40，所以q2.14(2021江西南昌模拟)已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式为an 答案2n解析设等比数列an的公比为q.aa10，(a1q4)2a1q9，a1q，anqn.2(anan2)5an1，2an(1q2)5anq，2(1q2)5q，解得q2或q(舍去).an2n.15(2022广州天河区高三综合测试(一)复印纸幅面规格采用A系列，其幅面规格为：A1，A2，A3，A9所有规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系都为xy1；将A1纸张沿
20、长度方向对开成两等分，便成为A2规格；A2纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A3规格；如此对开至A9规格，现有A1，A2，A3，A9纸各一张，若A5纸的幅宽为2 dm，则A1纸的面积为 dm2，这9张纸的面积之和为 dm2.答案64解析由题意知，若A1长宽(a，a)，A2长宽，A3长宽，A4长宽，A5长宽，2，可得a8，则A1长宽(8，8)，故其面积为64 dm2.由上知，9张纸的面积构成首项为64，公比为的等比数列，9张纸的面积之和为 dm2.16已知等比数列an中，a2a31，则使不等式0成立的最大自然数n的值是 答案5解析设公比为q，由a2a31知0q1，anqn3，不等式的左端(1q5
21、n)0，0q0)，由a62，a4a512，得解得或(舍去)，an6427n.(2)bna1a3a5a2n1262422282n22n27n2(n3.5)212.25，当n取3或4时，bn取得最大项212.18(2021山东省实验中学预测(一)设数列an的前n项和为Sn，在Snman1(m0)，Snkan，2ana1S1Sn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知数列an满足a11， ，若数列an是等比数列，求数列an的通项公式；若数列an不是等比数列，说明理由解若选：Snman1(m0)，则S1a1ma2，S2a1a2ma3，两式相减得a2ma3ma2，a3a2.a1a3a2m
22、a2(m1)a，且m0，a1a3a，故数列an不是等比数列若选：Snkan，由a11，得1k，即k，于是Snan，当n2时，Sn1an1，两式相减得ananan1，即an3an1，又a110，数列an是首项为1，公比为3的等比数列，an3n1.若选：2ana1S1Sn，由a11，得Sn2an1，当n2时，Sn12an11，两式相减得SnSn1an2an2an1，即an2an1，又a110，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an2n1.19(2021河南许昌模拟)已知数列an的前n项和为Sn，a11，且3an12Sn3(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)若对任意nN*，kSn恒成
23、立，求实数k的最大值解(1)因为3an12Sn3，所以当n2时，3an2Sn13.由，得3an13an2an0(n2)，所以(n2).因为a11，3a22a13，解得a2，所以.所以数列an是首项为1，公比为的等比数列所以an.(2)由(1)知Sn.由题意，可知对于任意nN*，恒有k成立因为数列为递增数列，所以数列中的最小项为，所以k1，故实数k的最大值为1.20(2022山西晋城模拟)已知等比数列an的各项均为整数，公比为q，且|q|1，数列an中有连续四项在集合M96，24，36，48，192中，(1)求q，并写出数列an的一个通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，证明：数列Sn中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以构成等差数列解(1)等比数列an的各项均为整数，公比为q，且|q|1，数列an中有连续四项在集合M96，24，36，48，192中，根据观察得知，M96，24，36，48，192中的24，48，96，192这四项构成公比为2的等比数列，所以an12(2)n.(2)证明：由(1)知Sn(2)n，所以Sn1(2)n1(2)n，Sn2(2)n2(2)n，则Sn1Sn2(2)n，2Sn(2)n，故2SnSn1Sn2，故Sn1，Sn，Sn2构成等差数列
