1、第六讲指数与指数函数知识梳理双基自测知识点一指数与指数运算1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果_xna_，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时，正数的n次方根是一个_正数_，负数的n次方根是一个_负数_零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有_两个_，它们互为_相反数_负数没有偶次方根(2)两个重要公式()n_a_(注意a必须使有意义)2分数指数幂(1)正数的正分数指数幂是a_(a0，m，nN*，n1)(2)正数的负分数指数幂是a(a0，m，nN*，n1)(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义3有理指数幂的运算性质(1)aras_ars_(a0，r、sQ
2、)；(2)(ar)s_ars_(a0，r、sQ)；(3)(ab)r_arbr_(a0，b0，rQ)知识点二指数函数图象与性质指数函数的概念、图象和性质定义函数f(x)ax(a0且a1)叫指数函数底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数1画指数函数yax(a0且a1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0,1)2底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a1，还是0a0且a1)的图象关于y轴对称题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na(aN*)()(2)aa(n，mN*)()(3
3、)函数y32x，与y2x1都不是指数函数()(4)若am0，且a1)，则m1时mn，当0an；(5)y2xx是减函数题组二走进教材2(必修1P59AT2改编)设a0，将表示成分数指数幂，其结果是(C)AaBaCaDa解析由题意得a2a，故选C3(必修1P60BT2改编)已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)等于(B)A5B7C9D11解析f(2a)22a22a(2a2a)22f(a)227.故选B4(必修1P82AT10改编)若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_.解析a2，a，f(1)1.题组三走向高考5(2020全国，8)设alog342，则4a(B)AB
4、CD解析本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式因为alog34log34a2，所以4a329，所以4a，故选B另：alog342log34，34，4aa.6(2017北京，5分)已知函数f(x)3xx，则f(x)(A)A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数解析因为f(x)3xx，且定义域为R，所以f(x)3xxx3xf(x)，即函数f(x)是奇函数又y3x在R上是增函数，yx在R上是减函数，所以f(x)3xx在R上是增函数，故选A7(2016全国卷)已知a2，b4，c25，则(A)AbacBabcCbcaDcab解析因
5、为a216，b416，c25，且幂函数yx在R上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以bac.考点突破互动探究考点一指数与指数运算自主练透例1 (1)下列命题中正确的是(B)AaBaR，则(a2a1)01CxyD(2)计算2_6_.(3)化简：()_.(4)已知aa3，求下列各式的值aa1；a2a2；.解析(1)若n是奇数，则a；若n是偶数，则|a|所以A错误；因为a2a1恒不为0，所以(a2a1)0有意义且等于1，所以B正确；不能化简为xy，所以C错误；因为0，所以，所以D错误故选B(2)原式23122332322326.(3)原式2213101.故填.(4)将aa3两边平方，得aa
6、129，所以aa17.将aa17两边平方，得a2a2249，所以a2a247.由可得6.名师点拨指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一考点二指数函数图象与性质考向1指数函数的图象及应用师生共研例2 (1)(2021秦皇岛模拟)函数f(x)21x的大致图象为(A)(2)(2021
7、湖北黄冈质检)函数yax(a0，a1)与yxb的图象如图，则下列不等式一定成立的是(D)Aba0Bab0Cab1Dloga2b(3)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_1,1_.分析(1)将函数化为f(x)2x的形式，根据函数的性质及过定点，并结合选项判断；(2)由图确定a、b的范围求解；(3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解解析(1)解法一：函数f(x)21x2x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求解法二：(采用平移法)因为函数f(x)21x2(x1)，所以先画出函数y2x的图象，再将y2x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位，只有选项
8、A符合(2)由图可知，yax单调递增，则a1；yxb单调递减，则b0不一定成立，如a3，b1；B：ab0不一定成立，如a2，b3；C：ab1不成立，ab0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(1，)由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解变式训练1(1)函数yax(a0，a1)的图象可能是(D)(2)已知实数a，b满足等式a()b，下列关系式中不可能成立的是(D)A0baBab0CabDb
9、01时，函数单调递增，且函数的图象恒过点.因为011，所以A、B均不正确；当0a1时，函数单调递减，且函数的图象恒过点，因为1b0时，ab可能成立ab0b时，a0.考向2指数函数的性质及其应用多维探究角度1比较指数幂的大小例3 已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是(B)AcabBbacCacbDab，所以，即ba0的解集为_x|x4或x0_.解析(1)当m2时，9m(2m)3m21，即34m43m3，解得m(舍)，故m3.(2)f(x)为偶函数，f(x)在0，)上递增，且f(2)0，|x2|2，解得x4或x0，且a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是(B)A(，2B2，)C2，)D
10、(，2解析由f(1)得a2，又a0，所以a，因此f(x)|2x4|.yt为减函数，f(x)的减区间为t|2x4|的递增区间2，)，所以f(x)的单调递减区间是2，)名师点拨(1)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决(3)解指数方程的方法同底法：把方程化为af(x)ag(x)的情形，然后得出f(
11、x)g(x)化为axb，利用对数定义求解xlogab.把方程化为f(ax)0的情形，然后换元，即设axt，然后解方程f(t)0，注意只要t0的解(4)解指数不等式的方法同底法：把方程化为af(x)ag(x)的情形，根据函数单调性建立f(x)和g(x)的不等式变式训练2(1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是(D)A1.72.50.62C0.80.11.250.2D1.70.30.93.1(2)(角度2)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_(3)(角度3)设函数f(x)若f(a)1.701,0.93.10.901，D不正确，故选D(2)当a1时，代入不成立故a的值为.
12、(3)若a0，则f(a)1a71a3，故3a0；若a0，则f(a)11，解得a1，故0a1.综合可得3a0，a1)在区间上有最大值3和最小值，试求a，b的值分析本题易出现的错误有两个，一个是二次函数tx22x在区间上的范围求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认为f(x)是单调递增函数解析设tx22x，x，由图象得t1,0当a1时，f(t)atb在1,0上为增函数，值域为，解得当0a1和0a0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求实数a的值解析设axt，则a2xt2，当a1时，t，yt22t1，在上为增函数，当ta时，取得最大值，a22a1，所以a22a114，解得a3或a5(舍)；当0a1时，t，yt22t1，在上为增函数，当t时，取得最大值，21，所以2114，解得a或a(舍)综上所述，a3或.
