1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系：点A在平面内记作A，点A不在平面内记作A.(2)点与直线的位置关系：点A在直线l上记作Al，点A不在直线l上，记作Al.(3)线面的位置关系：直线l在平面内记作l，直线l不在平面内记作l.(4)平面与平面相交于直线a，记作a.(5)直线l与平面相交于点A，记作lA.(6)直线a与直线b相交于
2、点A，记作abA.3直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)空间平行线的传递性公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(4)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.4空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行 0个相交l 无数个1公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交
3、直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个方法过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线1(2021保定模拟)已知p：a，b为异面直线，q：直线a，b不相交，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或bDb与相交或b或b答案D解析b与相交或b或b都可以3设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A若AC与BD共面，则
4、AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC答案D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立4(2021吉林四平模拟)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BC1C与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60答案C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点
5、，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC的中点，ABC为正三角形，所以AEBC，即AE与B1C1所成的角为90，故D错误5设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中错误的是_(写出所有错误命题的序号)答案解析由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错误；a，
6、b，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故错误6(2022河南安阳模拟)正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是_答案60解析如图所示，连接A1B，可知A1BE1D，A1BC1是异面直线E1D与BC1所成的角连接A1C1，可求得A1C1C1BBA1，A1BC160，即侧面对角线E1D与BC1所成的角是60.考向一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A
7、1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1.E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，直线CE与直线D1F必相交，设交点为P.则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点1证明点或线共面问题的两种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合2证明点共线问题的两种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上(2)直接证明这些点都在
8、同一条特定直线上3证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上1.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC
9、平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线精准设计考向，多角度探究突破考向二空间两条直线的位置关系角度两条直线位置关系的判定例2(1)(2021邯郸一中模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A相交但不垂直B相交且垂直C异面D平行答案D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，则MDED1A1E，因为A1E2ED，所以M为AD的中点连接BF并延长，交AD于点N，同理可得，N为AD的中点所以M，N重合，又，所以，所以EFBD1.(2) 如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面AB
10、CD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.点N为正方形ABCD的中心，点N在BD上，且为BD的中点ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MGEF，BG ，BM.BMEN.BM，EN都是DBE的中线，BM，EN必相交故选B.角度异面直线
11、的判定例3(2022江西吉安一中月考)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_答案解析中GHMN；中GMHN且GMHN，所以直线GH与MN必相交；中直线GH与MN是异面直线空间两条直线位置关系的判定方法2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交答案D解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交故选D.3如图所示，正方体ABCDA
12、1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(写出所有正确结论的序号)答案解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错误；取DD1的中点E，连接AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错误；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故正确；同理正确考向三异面直线所成的角例4(1)(202
13、1全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A.BCD答案D解析如图，连接A1C1，A1B，BC1，因为AD1BC1，易知PBC1为锐角，所以PBC1为直线PB与AD1所成的角设正方体的棱长为2，则PB，PC1，BC12，则PB2PCBC，在RtPBC1中，因为sinPBC1，所以直线PB与AD1所成的角为.故选D.(2)(2021甘肃省、青海省、宁夏回族自治区联考)在四棱锥PABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成的角为()A30B45C60D90答案C
14、解析如图，由题意，可知O是正方形ABCD的中心，取N为OC的中点，连接MN，所以OPMN，易知BMN是锐角，则BMN是异面直线OP与BM所成的角因为OP平面ABCD，所以MN平面ABCD，因为在四棱锥PABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，所以OC2，所以OP2，因此MN.连接OB，在RtBON中，BN，所以tanBMN，所以BMN60，则异面直线OP与BM所成的角为60.故选C.求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成角的三步曲：“
15、一作、二证、三求”一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角二证：证明作出的角是异面直线所成的角三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线、平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解4.已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD所成的角为60，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB与MN所成的角为_答案60或30解析如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD，所以
16、MPN为直线AB与CD所成的角(或其补角)，则MPN60或MPN120.因为PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或其补角)若MPN60，因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即直线AB与MN所成的角为60；若MPN120，则易知PMN是等腰三角形，所以PMN30，即直线AB与MN所成的角为30.综上，直线AB与MN所成的角为60或30.5正四面体ABCD中，点E，F分别为AB，BD的中点，则异面直线AF与CE所成角的余弦值为_答案解析取BF的中点G，连接CG，EG，易知EGAF，所以异面直线AF，CE所成的角即为GEC(或其补角)不妨设正四面体的棱长为2，易求
17、得CE，EG，CG，由余弦定理，得cosGEC，所以异面直线AF与CE所成角的余弦值为.自主培优(十三) 巧用方法求异面直线所成的角在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.BCD答案C解析解法一：如图，补上一相同的长方体CDEFC1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1DE1，则B1DE1(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，所以DE1 2，DB1 ，B1E1 ，在B1DE1中，由余弦定理，得cosB1DE1，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C
18、.解法二：如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，易知MOD是锐角，则MOD为异面直线AD1与DB1所成的角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.解法三：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以(1,0，)，(1,1，)，则由向量
19、夹角公式，得cos，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形对点训练已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.BCD答案C解析解法一：如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1(或其补角)为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.
20、在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cosB1AD1.故选C.解法二：如图，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，连接MN，NP，MP，则MNAB1，NPBC1，所以PNM(或其补角)为异面直线AB1与BC1所成的角易知MNAB1，NPBC1.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，可知PQM为直角三角形，PQ1，MQAC.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，所以AC，MQ.在RtMQP中，MP，则在PMN中，cosPNM，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.故选C.解法三：作BHAC，H为垂足以H为坐标原点，的
21、方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系由已知可得|BH|，|AH|，|CH|，则A，B，B1，C1，从而，cos，.故选C.1如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图形是()答案C解析A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RPSQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线故选C.2(2022大连模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交B异面C平行D垂直答案A解析直线A1B与
22、其外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交3若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故排除A，B，C，选D.4. 如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必经过()A点AB点BC点C但不过点MD点C和点M答
23、案D解析直线AB，M直线AB，M.又l，Ml，M，则M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上故选D.5设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A存在唯一直线l，使得la，且lbB存在唯一直线l，使得la，且lbC存在唯一平面，使得a，且bD存在唯一平面，使得a，且b答案C解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由la，且lb，可得ab，与题设矛盾，故B不正确；由a，且b，可得ab，与题设矛盾，D不正确故选C.6. 一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()AABCDBAB与CD相交CABCDDAB与C
24、D所成的角为60答案D解析将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60.故选D.7(2022吉林长春高三质量监测(一)给出下列命题：若ABC的三条边所在直线分别交平面于P，Q，R三点，则P，Q，R三点共线；若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c是异面直线；若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；对于三条直线a，b，c，若ac，bc，则ab.其中所有真命题的序号是()A B.C. D.答案B解析对于，若ABC的三条边所在直线分别交平面于P，Q，R三点，则P，Q，R且P，Q，R平面ABC，所以P，Q，R三点
25、必在两平面的交线上，所以P，Q，R三点共线，所以正确；对于，若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c可能相交、平行或异面，所以错误；对于，若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，由公理3可得这四条直线共面，所以正确；对于，若a，b，c是过长方体一顶点的三条棱，则满足ac，bc，此时a与b相交，所以错误所以所有真命题的序号是.故选B.8. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是()AA1C1平面ABCDBAC1BDCAC1与CD成45角DA1C1与B1C成60角答案C解析A显然正确；如图，连接AC，BD，由BDAC，BDCC1，得BD平面
26、ACC1A1，所以BDAC1，故B正确；连接C1D，A1D，易证A1DB1C，则DA1C1即为A1C1与B1C所成的角，又A1C1D为等边三角形，所以DA1C160，故D正确；CDC1D1，故AC1D1为AC1与CD所成的角，易得tanAC1D11，C错误故选C.9(2021永州模拟)三棱锥ABCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A.BCD答案D解析连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，M是AD的中点，MOAN，BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角设三棱锥ABCD的所有棱长为2，则ANBMDN，则MOANNODN，则BO.
27、在BMO中，由余弦定理得cosBMO，异面直线BM与AN所成角的余弦值为.故选D.10(2021浙江高考) 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()A直线A1D与直线D1B垂直，直线MN平面ABCDB直线A1D与直线D1B平行，直线MN平面BDD1B1C直线A1D与直线D1B相交，直线MN平面ABCDD直线A1D与直线D1B异面，直线MN平面BDD1B1答案A解析如图，连接AD1，则易得点M在AD1上，且AD1A1D.因为AB平面AA1D1D，所以ABA1D，所以A1D平面ABD1，所以A1D与D1B异面且垂直在ABD1中，由中位线定理可得MNAB，所
28、以MN平面ABCD.易知直线AB与平面BDD1B1成45角，所以MN与平面BDD1B1不垂直，所以A正确故选A.11(2021广东梅州三模)如图1，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE2AE，DH2AH，CF2FB，CG2GD，现将ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD(如图2)，在折起过程中，下列说法正确的是()A直线EF，HG有可能平行B直线EF，HG一定异面C直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上D直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上答案C解析如图，连接EH，FG.BE2AE，DH2AH，则EHBD，且EHBD，又CF2FB，CG
29、2GD，2，则FGBD，且FGBD，EHFG，且EHFG，直线EF，HG一定相交，设交点为O，则OEF，又EF平面ABC，可得O平面ABC，同理，O平面ACD，而平面ABC平面ACDAC，OAC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上故选C.12. (2022甘肃天水模拟)如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB12，BC3，AA14，N在A1B1上，且B1N4，则异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为()A.BCD答案B解析补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC1的长方体BEFCB1E1F1C1，如图所示连接C1E，NE，则C1EBD1，于是NC1E即为异面直线B
30、D1与C1N所成的角(或其补角)在NC1E中，根据已知条件可求得C1N5，C1E13，EN4.由余弦定理，得cosNC1E.所以异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为.13下列如图所示的正方体和正四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填所有满足条件图形的序号)答案解析易知中，PSQR，所以四点共面；在中，构造如图所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面；在中，由点P，R，Q确定平面，观察图形，知点S在平面外，因此四点不共面故填.14. 如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于
31、点K.给出以下说法：直线MN平面PQR；点K在直线MN上；M，N，K，A四点共面其中说法正确的是_答案解析依题意画出图形，如图所示，则MPQ，NRQ，KRP，从而点M，N，K平面PQR.所以直线MN平面PQR，故正确；同理可得点M，N，K平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故正确；因为A直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故正确15. (2021四川泸州诊断)如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是O1的直径，C是上底面圆周上一点，CBD30，若A，C两点间的距离为，则圆柱O1O2的高为_，异面直线AC与BD所成角的余弦值为_
32、答案2解析如图，连接CD，则BCD90，因为圆柱O1O2的底面圆半径为1，所以BD2.因为CBD30，所以CD1，BC，易知ABBC，所以AC，所以AB2，故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长，设AO2的延长线与下底面圆周交于点E，连接CE，则AE2，CAE即为异面直线AC与BD所成的角又CE，所以cosCAE.16如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)DEF，如图对于，G
33、，H分别为DE，AE的中点，则GHAD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故错误；对于，假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故正确；对于，依题意，得GHAD，MNAF，DAF60，故GH与MN成60角，故正确；对于，连接GF，AG，A点在平面DEF的射影A1在GF上，DE平面AGF，则DEAF，而AFMN，DE与MN垂直，故正确综上所述，正确命题的序号是.17如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D
34、，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由题意可得GH是AFD的中位线，GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如下：由BE綊FA，点G是FA的中点，知BE綊GF，EF綊BG.由(1)知，BGCH，EFCH，故EC，FH共面又点D在直线FH上，C，D，F，E四点共面18在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成的角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成的角的大小解(1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接B1C，AB1，易知A1DB1C，从而B1CA(或其补角)就是AC与A1
35、D所成的角AB1ACB1C，B1CA60.即AC与A1D所成的角为60.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，BDA1C1.E，F分别为AB，AD的中点，EFBD，EFA1C1，即A1C1与EF所成的角为90.19(2022安徽芜湖一中月考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面ABC的中心，如图所示(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成的角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1BCA1的体积解(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点点O是正三角形ABC的中心，且A1O平面ABC，BCAD，BCA1O.ADA1OO，BC平面ADA1.BCAA1.又AA1CC1，CC1BC，异面直线AA1与BC1所成的角为BC1C或其补角又侧棱长和底面边长均为2，四边形BCC1B1为正方形，BC1C45，异面直线AA1与BC1所成的角为45.(2)三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，可求得AD，AOAD，A1O.VABCA1B1C1SABCA1O2，VA1B1C1CBVABCA1B1C1VA1ABC.VC1BCA1VA1BCC1VA1B1C1CB.