1、第四节 二次函数与幂函数热点命题分析学科核心素养本节在高考中很少单独命题，常与其他函数、不等式、方程等知识综合考查，是高考中的一个热点，主要考查二次函数的图象和性质，而对幂函数要求较低，常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下.本节通过二次函数和幂函数的图象和性质考查分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养.知识点一 幂函数1幂函数的概念一般地，形如的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数yx(R)25个简单的幂函数的图象与性质x|x0 y|y0 奇函数(1,1)1(多选题)(2021海南海口海南中学月考)若幂函数yf(x)的图象经过点
2、(3,27)，则幂函数f(x)是()A奇函数 B偶函数 C增函数D减函数解析：设幂函数为f(x)xa(a为常数)，因为其图象经过点(3,27)，所以273a，解得a3，所以幂函数f(x)x3.因为f(x)的定义域为R，且f(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)是奇函数，又a30，所以f(x)在R上是增函数AC 2如图所示是yxa；yxb；yxc在第一象限内的图象，则a，b，c的大小关系为_答案：acb知识点二 二次函数二次函数的图象和性质 温馨提醒 1.注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论2一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2bxc0(a0)恒成立”
3、的充要条件是“a0且0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”1(易错题)若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是()A(，2 B2,2C(2,2D(，2)C 2已知函数f(x)(m2m5)xm是幂函数，且在x(0，)时为增函数，则实数m的值是()A2B4C3D2或3C 3已知函数f(x)x2(a1)xa在区间2,5上单调，则a的取值范围为_答案：(，93，)4 如 图 所 示，若 a 0，b 0，则 函 数 y ax2 bx的 大 致 图 象 是_(填序号)答案：题型一 幂函数的图象与性质 自主探究1幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，
4、则yf(x)的图象大致是()C D 3若(a1)2(32a)2，则a的取值范围是_答案：161.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域根据0,01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.题型二 二次函数的图象与性质 多维探究考法(一)二次函数的图象例1 如图所示是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A BCDB 考法(二)二次函数的单调性例
5、2(多选题)若函数f(x)(x1)|xa|在区间(1,2)上单调递增，则满足条件的实数a的值可能是()A0B2C2D3ABD 考法(三)二次函数中的恒成立问题例3已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围解析由题意可知，f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得m1.因此，满足条件的实数m的取值范围是(，1)解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点(1)抛物线的
6、开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)由不等式恒成立求参数取值范围的关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域题组突破1一次函数yaxb与二次函数yax2bxc(a0)在同一直角坐标系中的图象大致是()C 2已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是()A0，)B(，0C0,4D(，04，)C 3已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,
7、1上恒小于零，则实数a的取值范围为_(一)逻辑推理分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用例1函数f(x)x22x在区间t，t1上的最小值为8，求实数t的值解析二次函数f(x)x22x图象的对称轴方程为x1.当t11，即t2时，f(x)在区间t，t1上单调递减，故f(x)minf(t1)(t1)22(t1)8，解得t5或t1(舍去)；当t1t1，即2t1时，f(x)minf(1)18；当t1时，f(x)在区间t，t1上单调递增，故f(x)minf(t)t22t8，解得t2或t4(舍去)综上可知，t的值为5或2.二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系.本题关键是利用“中值函数”的定义转化为二次方程根的分布问题，从而利用函数与方程的思想、数形结合思想求出题组突破1(2021承德模拟)若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()A1 B1 C2 D2B 2设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为_课时作业 巩固提升