1、2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1集合A=0，2，a，B=1，a2，若AB=0，1，2，4，16，则a的值为（）A0B1C2D42设函数f（x）=则不等式f（x）f（1）的解集是（）A（3，1）（3，+）B（3，1）（2，+）C（1，1）（3，+）D（，1）（1，3）3函数是（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数4命题“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在xR，x3x2+10
2、C存在xR，x3x2+10D对任意的xR，x3x2+105下列四个函数中，在区间（1，0）上为减函数的是（）Ay=log2|x|By=cosxCD6若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”那么函数解析式为y=2x2+1，值域为3，19的“孪生函数”共有（）A15个B12个C9个D8个7已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A0BC1D8对于正实数a，记Ma为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：x1，x2R且x2x1，有a（x2x1）f（x2）f（x1）a（x2x1）下列结论中正
3、确的是（）A若f（x）M，g（x）M，则f（x）g（x）MB若f（x）M，g（x）M，且g（x）0，则MC若f（x）M，g（x）M，则f（x）+g（x）MD若f（x）M，g（x）M，且a1a2，则f（x）g（x）M9已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意xR，都有f（x+1）=f（1x）成立，且（x1）f（x）0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）AabcBbcaCcabDcba10对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0D，使|f（x0）g（x0）|1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”现给出两个函数：f（x）=x2，g（
4、x）=2x3 f（x）=，g（x）=x+2f（x）=ex，g（x）=f（x）=lnx，g（x）=x其中在区间（0，+）上存在“友好点”的有（）ABCD二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11函数y=的最大值等于（选修4-4：极坐标与参数方程）12在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为=（R），曲线C的参数方程为（为参数）若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|=（几何证明选讲选做题）13如图所示，
5、AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则CBD=二.填空题（必做题）14设p：x2x200，q：0，则p是非q的条件15定义在R上的函数f（x）满足：，当x（0，4）时，f（x）=x21，则f（2011）=16已知以下四个命题：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1x2，那么不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1xx2；若，则（x1）（x2）0；“若m2，则x22x+m0的解集是实数集R”的逆否命题；定义在R的函数f（x），且对任意的xR都有：f（x）=f（x），f（1+x）=f（1x），则4是y=f（x）
6、的一个周期其中为真命题的是（填上你认为正确的序号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）17设全集是实数集R，A=x|2x27x+30，B=x|x2+a0（1）当a=4时，求AB和AB；（2）若（RA）B=B，求实数a的取值范围18已知a0，设命题p：函数y=ax在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y1若pq为假，pq为真，求a的取值范围19已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx （xR）是偶函数（1）求k的值；（2）若方程f（x）m=0有解，求m的取值范围20已知函数f（x）=x2+lnxax在（0，1）上是增函数（1）求a的取值范围；（
7、2）设g（x）=e2xaex1，x0，ln3，求g（x）的最小值21已知函数f（x）的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x1时f（x）0，f（2）=1（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+）上是增函数；（3）解不等式f（2x21）222已知函数f（x）=ax2+ax和g（x）=xa其中aR且a0（）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理
8、由（）若p和q是方程f（x）g（x）=0的两根，且满足，证明：当x（0，p）时，g（x）f（x）pa2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1集合A=0，2，a，B=1，a2，若AB=0，1，2，4，16，则a的值为（）A0B1C2D4【考点】并集及其运算【专题】集合【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案【解答】解：A=0，2，a，B=1，a2，AB=0，1，2，4，16a=4，故选D【点
9、评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题2设函数f（x）=则不等式f（x）f（1）的解集是（）A（3，1）（3，+）B（3，1）（2，+）C（1，1）（3，+）D（，1）（1，3）【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】求出函数值，利用分段函数求解不等式的解集即可【解答】解：函数f（x）=，则f（1）=3，不等式f（x）f（1）等价于：或，解得：x（3，1）（3，+）故选：A【点评】本题考查分段函数的应用，不等式组的解法，考查计算能力3函数是（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【考点】函数奇偶性的判断【专题】计算题
10、【分析】先根据函数的定义域化简原函数，再考查函数的奇偶性，可对选项的对错进行判断【解答】解：1x20，1x1=，故f（x）是偶函数，因此B对故选B【点评】本题主要考查了利用定义进行函数奇偶性的判断，解答关键是将原函数式化简，属于基础题4命题“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在xR，x3x2+10C存在xR，x3x2+10D对任意的xR，x3x2+10【考点】命题的否定【分析】根据命题“对任意的xR，x3x2+10”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案【解答】解：命题“对任意的xR，x3x2+10”是全称命题否定命题为：存在xR，x3x2+1
11、0故选C【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定5下列四个函数中，在区间（1，0）上为减函数的是（）Ay=log2|x|By=cosxCD【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】综合题【分析】由对数函数，指数函数，幂函数以及三角函数的单调性很容易得到答案【解答】解：A、y=log2x在 （0，+）上是增函数，y=log2（x）在 （1，0）上是减函数，故对；B、y=cosx在 （，0）上是增函数，y=cosx在 在 （1，0）上是增函数，故错；C、在R上是增函数，在 （1，0）上是增函数，故错；D、在R上是增函数，在 （1，0）
12、上是增函数，故错；故选A【点评】本题考查了常见函数单调性，以及函数单调性的判断与证明，是个基础题6若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”那么函数解析式为y=2x2+1，值域为3，19的“孪生函数”共有（）A15个B12个C9个D8个【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法【专题】函数的性质及应用【分析】根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可【解答】解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=3，即定义域内1和1至少有一个，有3种结果，3和3至少有一个，有3种结果
13、，共有33=9种，故选：C【点评】本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键7已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A0BC1D【考点】函数的值；偶函数【专题】计算题；压轴题【分析】从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解【解答】解：若x0，则有，取，则有：f（x）是偶函数，则由此得于是，故选A【点评】本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律8对于正实数a
14、，记Ma为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：x1，x2R且x2x1，有a（x2x1）f（x2）f（x1）a（x2x1）下列结论中正确的是（）A若f（x）M，g（x）M，则f（x）g（x）MB若f（x）M，g（x）M，且g（x）0，则MC若f（x）M，g（x）M，则f（x）+g（x）MD若f（x）M，g（x）M，且a1a2，则f（x）g（x）M【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】Ma为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：x1，x2R且x2x1，有a（x2x1）f（x2）f（x1）a（x2x1）即满足aa因此函数f（x）上的任意一点的斜率kf（a，a）据此即可判断出正确答案为
15、A举反例即可否定B，C，D【解答】解：Ma为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：x1，x2R且x2x1，有a（x2x1）f（x2）f（x1）a（x2x1）即满足aa因此函数f（x）上的任意一点的斜率kf（a，a）对于Af（x）M，g（x）M，则a1a2kfkga1a2，f（x）g（x）M，因此正确；对于B取f（x）M，a1=2，g（x）M，a2=2，则，因此B不正确；对于Cf（x）M，a1=2，g（x）M，a2=2，则f（x）+g（x），因此C不正确对于D取f（x）M，a1=2，g（x）M，a2=2，则f（x）g（x），因此D不正确故选：A【点评】本题考查了斜率计算公式、函数的性质、简易逻辑
16、的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意xR，都有f（x+1）=f（1x）成立，且（x1）f（x）0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）AabcBbcaCcabDcba【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】由题意得对任意xR，都有f（x+1）=f（1x），得到函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（1）由当x（，1）时，（x1）f（x）0，得f（x）0，所以函数f（x）在（，1）上单调递增比较自变量的大小即可得到函数值的大小【解答】解：由题意得：对任意xR，都有f（x+1）=f（1
17、x）成立，所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（1）因为当x（，1）时，（x1）f（x）0，所以f（x）0，所以函数f（x）在（，1）上单调递增因为10，所以f（1）f（0）f（），即f（3）f（0）f（），所以cab故选C【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，函数的性质一直是各种考试考查的重点内容，属于中档题10对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0D，使|f（x0）g（x0）|1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”现给出两个函数：f（x）=x2，g（x）=2x3 f（x）=，g（x）=x+2f（x）=ex，g（
18、x）=f（x）=lnx，g（x）=x其中在区间（0，+）上存在“友好点”的有（）ABCD【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】根据“友好点”的定义，分别进行判断即可【解答】解：f（x）g（x）=x22x+3=（x1）2+22，要使|f（x0）g（x0）|1，不可能，不满足条件，在区间（0，+）上的不存在唯一“友好点”，不正确g（x）f（x）=x+2=（）2+1，不存在x0D，使|f（x0）g（x0）|1，函数不存在“友好点”，错误设h（x）=f（x）g（x）=ex+，则函数h（x）在（0，+）上单调减，x0，h（x）+，x+，h（x）0，使|f（x0）g（x0）|1的x0
19、不唯一，满足条件，正确h（x）=g（x）f（x）=xlnx，（x0），h（x）=1，令h（x）0，可得x1，令h（x）0，可得0x1，x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=10=1，g（x）f（x）1，当x0=1时，使|f（x0）g（x0）|1的x0唯一，满足条件故选：C【点评】本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分析问题的能力二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11函数y=的最大值等于2
20、【考点】基本不等式【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由于y0，考虑平方法，化简整理，再由二次函数的值域，即可得到最大值【解答】解：由于y0，则y2=x1+5x+2=4+2=4+2当x=3时，y2取最大值4+22=8，即有y的最大值为2故答案为：【点评】本题考查函数的最值，考查可化为二次函数的最值的方法，注意运用平方法，属于中档题（选修4-4：极坐标与参数方程）12在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为=（R），曲线C的参数方程为（为参数）若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|=【考点】简单曲线的极坐标方程【专
21、题】坐标系和参数方程【分析】先将直线l的极坐标方程化为普通方程，再将曲线C的参数方程化为普通方程，再利用两曲线的方程【解答】解：直线l的极坐标方程为=（R），直线l的普通方程为：y=x曲线C的参数方程为（为参数），曲线C的普通方程为：（x1）2+y2=4直线l与曲线C交于A，B两点，圆心（1，0）到直线l：xy=0的距离为：，|AB|=2=2=故答案为：【点评】本题考查了极坐标方程、参数方程转化为普通方程，还考查了求圆中的弦长，本题难度不大，属于基础题（几何证明选讲选做题）13如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则CBD=3
22、0【考点】与圆有关的比例线段【专题】计算题；压轴题【分析】欲求：“CBD”，根据圆中角的关系：COD=2CBD，只要求出COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题【解答】解：由割线定理得，PAPB=PCPD，PA=4，PC=5，410=5PD，PD=8，CD=85=3，CDO是等边三角形，COD=60，从而CBD=30故填：30或【点评】此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题二.填空题（必做题）14设p：x2x200，q：0，则p是非q的充分不必要条件【考点】必要条
23、件、充分条件与充要条件的判断【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】根据不等式的性质求出对应的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：由x2x200得x5或x4，即p：x5或x4，由0得|x|20，解得2x2，即q：2x2，非q：x2或x2，即p是非q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键15定义在R上的函数f（x）满足：，当x（0，4）时，f（x）=x21，则f（2011）=8【考点】函数的周期性；函数的值【专题】计算题；整体思想【分析】由题意令x=x+2代入关系式在进行化简，求出函数的周期为
24、4，再利用周期得f（2011）=f（3），再代入给出的解析式求解【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，f（x+4）=f（x），函数f（x）是周期函数且T=4，f（2011）=f（4502+3）=f（3），当x（0，4）时，f（x）=x21，f（3）=8即f（2011）=8故答案为：8【点评】本题考查了函数周期性的运用，关键是利用已知的式子整体代换后进行变形，求出函数的周期后在利用周期将所求的函数值转化到已知的范围内求解16已知以下四个命题：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1x2，那么不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1xx2
25、；若，则（x1）（x2）0；“若m2，则x22x+m0的解集是实数集R”的逆否命题；定义在R的函数f（x），且对任意的xR都有：f（x）=f（x），f（1+x）=f（1x），则4是y=f（x）的一个周期其中为真命题的是（填上你认为正确的序号）【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；函数的周期性；一元二次不等式的解法【专题】计算题；压轴题【分析】根据二次不等式的解法，可以判断的真假；由分式不等式的解法，可以判断的对错；根据四种命题真假性的关系，可以判断的正误；根据函数周期的计算方法，可以判断的真假，进而得到答案【解答】解：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1x2，
26、那么当a0时，不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1xx2，故错误；若，则（x1）（x2）0且x20，故错误；若m2，则x22x+m0的解集是实数集R为真命题，“若m2，则x22x+m0的解集是实数集R”的逆否命题也为真命题；定义在R的函数f（x），且对任意的xR都有：f（x）=f（x），f（1+x）=f（1x），则f（2+x）=f（1+x）+1=f1（1+x）=f（x）=f（x），f（4+x）=f（2+x）=f（x），即4是y=f（x）的一个周期故也为真命题故答案为【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，命题的否定，函数的周期性及一元二次不等式的解法，直接考查了这些知识的基本应用，
27、属于基础题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）17设全集是实数集R，A=x|2x27x+30，B=x|x2+a0（1）当a=4时，求AB和AB；（2）若（RA）B=B，求实数a的取值范围【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题【专题】计算题【分析】（1）A=x|x3，当a=4时，B=x|2x2，由此能求出AB和AB（2）RA=x|x或x3，当（RA）B=B时，BRA，由此进行分类讨论能够求出实数a的取值范围【解答】解：（1）A=x|x3，当a=4时，B=x|2x2，AB=x|x2，AB=x|2x3（2）RA=x|x或x3，当（RA）B
28、=B时，BRA，当B=，即a0时，满足BRA；当B，即a0时，B=x|x，要使BRA，需，解得a0综上可得，实数a的取值范围是a【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用18已知a0，设命题p：函数y=ax在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y1若pq为假，pq为真，求a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题【分析】若命题p：“函数y=ax在R上单调递减”为真命题，根据指数函数的单调性与底数的关系，易确定满足条件的a的取值范围，若命题q：“设函数对任意的x，恒有y1”，易求了满足条件的a的取值范围，又由pq为假
29、，pq为真，可以判断出命题p与命题q中一个为真一个为假，分类讨论求出对应的a的取值范围，综合讨论结果，即可得到a的取值范围【解答】解：若p是真命题，则0a1若q是真命题，则函数y1恒成立，即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值为2a，只需2a1q为真命题时，又pq为假，pq为真p与q一真一假 若p真q假，则；若p假q真，则a1故a的取值范围为或a1【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中求出命题p与命题q为真或假时，a的取值范围是解答本题的关键19已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx （xR）是偶函数（1）求k的值；（2）若方程f（x）m=0有解，求m的取值范围【考点】函
30、数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断【专题】计算题【分析】（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得，从而x=2kx对xR恒成立，即可求出k的值；（2）要使方程f（x）m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来得，然后利用基本不等式求出m的范围即可【解答】解：（1）由函数f（x）=log4（4x+1）+kx（xR）是偶函数可知f（x）=f（x）log4（4x+1）+kx=log4（4x+1）kx（即log44x=2kxx=2kx对xR恒成立k=（2）由，故要使方程f（x）m=0有解，m的取值范围：【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及根的个数的判定和基本不等式等有关基础知
31、识，属于中档题20已知函数f（x）=x2+lnxax在（0，1）上是增函数（1）求a的取值范围；（2）设g（x）=e2xaex1，x0，ln3，求g（x）的最小值【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题【分析】（1）求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围（2）通过函数将函数转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值【解答】解：（1），f（x）在（0，1）上是增函数，在（0，1）上恒成立，即恒成立，只需即可（当且仅当时取
32、等号），（2）设ex=t，x0，ln3，t1，3设，其对称轴为，由（1）得，则当，即时，h（t）的最小值为当，即a2时，h（t）的最小值为h（1）=a所以，当时，g（x）的最小值为，当a2时，g（x）的最小值为a【点评】解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换元法解题时，一定注意新变量的范围21已知函数f（x）的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x1时f（x）0，f（2）=1（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0
33、，+）上是增函数；（3）解不等式f（2x21）2【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断【专题】综合题；转化思想【分析】（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=1求出f（1）=0，再令x1=1，x2=x求出f（x）=f（x），则证出此函数为偶函数；（2）先任取x2x10，再代入所给的式子进行作差变形，利用x2=和且0，判断符号并得出结论；（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f（|2x21|）f（4），再由（2）的结论知|2x21|4，故解此不等式即可【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（
34、x2），令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=0，令x1=1，x2=x代入上式，f（x）=f（1x）=f（1）+f（x）=f（x），f（x）是偶函数（2）设x2x10，则=x2x10，0，即f（x2）f（x1）0，f（x2）f（x1）f（x）在（0，+）上是增函数（3）f（2）=1，f（4）=f（2）+f（2）=2，f（x）是偶函数，不等式f（2x21）2可化为f（|2x21|）f（4），又函数在（0，+）上是增函数，|2x21|4，且2x210，即42x214，且2x21解得：，且x，即不等式的解集为x|，且x【点评】本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反
35、复给x1和x2值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，易错点忽略定义域22已知函数f（x）=ax2+ax和g（x）=xa其中aR且a0（）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由（）若p和q是方程f（x）g（x）=0的两根，且满足，证明：当x（0，p）时，g（x）f（x）pa【考点】函数的图象；点到直线的距离公式；不等式的证明
36、【专题】综合题；压轴题【分析】（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，说明函数f（x）与g（x）有共同的零点，即g（x）的零点也在函数f（x）的图象上，代入易求出a值（2）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，则将直线方程代入抛物线方程后，对应的二次方程有两不等的实数根，再将OAB的面积函数表示出来，根据函数的性质，易得最值及对应的a值（3）综合零点的性质和不等式的性质，不难证明当x（0，p）时，g（x）f（x）pa【解答】解：（）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），又点（a，0）也在函数f（x）的图象上，a3+a2=0而a0，a=1（）依题意，
37、f（x）=g（x），即ax2+ax=xa，整理，得ax2+（a1）x+a=0，a0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，0，即=（a1）24a2=3a22a+1=（3a1）（a1）01a且a0设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2，由得，x1x2=10，设点o到直线g（x）=xa的距离为d，则，SOAB=1a且a0，当时，SOAB有最大值，SOAB无最小值（）由题意可知f（x）g（x）=a（xp）（xq），a（xp）（xq）0，当x（0，p）时，f（x）g（x）0，即f（x）g（x）又f（x）（pa）=a（xp）（xq）+xa（pa）=（xp）（axaq+1），xp0，且axaq+11aq0，f（x）（pa）0，f（x）pa，综上可知，g（x）f（x）pa【点评】本题考查的主要知识点是函数零点的性质，即两个函数的图象的交点在x轴上，则说明两个函数有共同的零点，即一个函数的零点也在另一个函数的图象上，应该满足另一个函数的方程；若函数在（a，b）上有零点，则f（a）f（b）0