1、江苏省苏州市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）1.复数(2i)i（i是虚数单位）的虚部是（ ）A. 2iB. 2C. 1+2iD. 2【答案】B【解析】【分析】化简复数即得复数的虚部.【详解】由题得，所以复数的虚部为2.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算和复数的虚部，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（ ）A. 72种B. 48种C. 54种D. 8种【答案】B【解析】【分析】因为每对师徒必须相邻，所以，三对师徒进行捆绑，则有，捆
2、绑后再次进行排列，则有种组合拍列，所以，每对师徒相邻的站法共有种【详解】由题意得每对师徒相邻的站法共有故选：B【点睛】本题考查排列组合中的相邻问题，属于简单题3.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正态密度曲线的对称性得出，由此可计算出结果.【详解】由于随机变量服从正态分布，则，故选C.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ）A. 40B. 50C
3、. 60D. 70【答案】D【解析】【分析】根据题意，可分为2种情况，取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解.【详解】根据题意，可分为2种情况，取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有种不同的取法；取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有种不同的取法，由分类计数原理，可得不同的取法共有种.故选：D.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5.函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
4、析】求出函数的定义域，解导数小于0的不等式，即可得答案.【详解】函数的定义域为，且，令，解得，函数的单调递减区间为.故选C.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的运用.6.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的22列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项
5、运动与性别无关”；C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】【分析】根据给定的的值，结合附表，即可得到结论.【详解】由 ，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关.故选：C.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中正确理解附表中数据的意义是解答本题的关键，属于基础题.7.设随机变量服从二项分布B(6，)，则P(3)等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由及二项分布的概率公式即可求解.【详解】.故选：A【点睛】本题考查二项分布及其概率求解，属于基础题.8.已知，若，则（
6、 ）A. 32B. 1C. 32D. 1或32【答案】B【解析】【分析】由求出a，再利用赋值法令代入等式即可得解.【详解】由题意知，令得.故选：B【点睛】本题考查二项展开式中特定项的系数、赋值法求二项式系数和，属于基础题.二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）9.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么概率为的事件是（ ）A. 至多一件一等品B. 至少一件一等品C. 至多一件二等品D. 至少一件二等品【答案】AD【解析】【分析】从5件产品中任取2件，有种结果，至多一件一等品有种情况，至少一件一等品有种情况，至多一件二等品有种情况，至少一件二等品有种情况，结合古
7、典概型概率计算公式可得结果【详解】从5件产品中任取2件，共有种结果，“任取的2件产品至多一件一等品”有种情况，其概率是，故A正确；“任取的2件产品中至少一件一等品”有种情况，其概率是，故B错误；“任取的2件产品中至多一件二等品”有种情况，其概率是，故C错误；“任取的2件产品在至少一件二等品”有种情况，其概率是，故D正确； 故选：AD.【点睛】本题考查古典概型，是一个由概率来对应事件的问题，需要把选项中的所有事件都作出概率，解题过程比较麻烦，属于中档题.10.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间单调递增B. 函数在区间单调递减C. 函数在处取得极大值
8、D. 函数在处取得极小值【答案】ABD【解析】【分析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题11.下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码
9、是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是【答案】AC【解析】【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；对于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确；对于C,设“从甲袋中取到白
10、球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；对于D,易得,即,即,又,故D错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键12.已知函数，则下列结论正确的是（）A. 函数存在两个不同的零点B. 函数既存在极大值又存在极小值C. 当时，方程有且只有两个实根D. 若时，则的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项.【详解】A.,解得，所以A正确；B.，当时，当时，或 是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，
11、是函数的极大值，所以B正确.C.当时，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；D.由图像可知，的最大值是2，所以不正确.故选A,B,C【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，所以图像是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）13.已知复数满足，其中是虚数单位，则_【答案】【解析】复数z满足 z(1i)i，所以.所以.故答案为.14.的展开式中仅有第4项的
12、二项式系数最大，则该展开式的常数项是_【答案】15【解析】二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， ，则展开式中的通项公式为 令，求得 ，故展开式中的常数项为 ，故答案为15.15.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有_种【答案】30【解析】【分析】先假设可放入一个盒里，那么方法有种，减去在一个盒子的情况，就有5种，把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，从而可得到结果【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球，先假设可放入一个盒里，那么方法有. 再减去在一起的情况，
13、就是种把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有种根据分步计数原理知共有种故选：C【点睛】本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题.两个元素不能同时放在一起，或两个元素不能相邻，这都是常见的问题，需要掌握方法16.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】采用构造函数法，设，则原问题转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式且，即可求解【详解】设，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；故，
14、而当时，故当且，解之得故答案为：【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知函数，在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直求实数的值和切线的方程【答案】，.【解析】【分析】求得，根据题意可知方程只有一个实数解，可知二次函数的最小值为，求得实数的值及对应的的值，可得出切点的坐标，利用点斜式可得出切线的方程.【详解】因为，所以.由题意可知，方程有两个相等的实根则，又，解得，则，所以切点坐标为，因此，切线的方程为，即.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.18.设.已知
15、.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.【答案】（1）；（2）-32.【解析】【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，解得（2）由（1）知，解法一：因为，所以，从而解法二：因为，所以因此【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.19.某设备的使用时间x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有
16、如下统计数据：使用时间x /年23456维修费用y /万元2.23.85.56.57.0若由数据知x与y具有线性相关关系.（1）试求线性回归方程；（2）试估计使用年限为10年时的维修费用是多少？参考公式：线性回归方程中，【答案】（1）；（2）使用年限为10年时的维修费用是12.38万元.【解析】【分析】（1）根据所给数据，求出的平均数，再由公式计算出即得；（2）将代入（1）中的线性回归方程，即得维修费用的估计值.【详解】（1）由题得，则，故线性回归方程为.（2）由（1）知线性回归方程为，当时，（万元），即使用年限为10年时，估计维修费用是万元.【点睛】本题考查求线性回归方程，以及它的应用，解题
17、关键是掌握线性回归方程的求法，难度不大.20.已知函数f (x)(a0)（1）当a1，b0时，求函数f (x)的极值；（2）当b1时，若函数f (x)没有零点，求实数a的取值范围【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） .【解析】【分析】（1）当时，求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，结合函数极值的定义，即可求解； （2）把函数没有零点，转化为方程axaex0无实根，令，利用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）当时，函数，则，当时，单调递减；当时，单调递增所以的极小值为，无极大值（2）当时，函数，因为函数没有零点，即方程无实根，即axaex0无实根，令，则，
18、若时，则在R上单调递增， 此时存在，使得，不合题意；若时，令，即，得；令，得， 所以当，函数取得最小值，最小值为，要使得函数没有零点，则满足，即，解得，综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程根的个数，应用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.21.经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动已知某网民购买商品的概率分别为，至少购买一种的概率为，最多购买两种的概率为
19、假设该网民是否购买这三种商品相互独立（1）求该网民分别购买两种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求的分布列【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意和概率的乘法公式可得进而可求购买两种商品的概率.(2)由题意知列出的可能取值,再求出每种取值下的概率.【详解】解:(1)由题意知,至少购买一件的概率为,所以一件都不买的概率为. .因为最多购买两件商品的概率为所以三件都买的概率为.即 .联立解得 或.因为,所以.(2) .由题意知.则, ,则的分布列为051015 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列,考查了相互独立事件的概率.对于列分布列的问题
20、,在写出分布列后,可将得到的概率加起来,判断是否为1,从而可以检验自己的计算有没有出错.22.已知函数，.（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？（2）当时，求函数的单调减区间；（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.【答案】（1）且，（2）当时，函数的减区间为，；当时，函数减区间为；当时，函数的减区间为，（3）.【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义分别求出曲线与在处的切线斜率，再根据两者相等得到，满足的条件，易错点不要忽视列出题中已知条件，（2）求函数的单调减区间，一是求出函数的导数，二是判断对应区间的导数值符号.本题难点在于导数为零时根的大小不确定，需根据根的大小
21、关系分别讨论单调减区间情况，尤其不能忽视两根相等的情况，（3）本题恒成立转化为函数最小值不小于零，难点是求函数的最小值时须分类讨论，且每类否定的方法为举例说明.另外，本题易想到用变量分离法，但会面临问题，而这需要高等数学知识.试题解析：（1），又，在处的切线方程为， 2分又，又，在处的切线方程为，所以当且时，曲线与在处总有相同的切线 4分（2）由， 7分由，得，当时，函数的减区间为，；当时，函数减区间为；当时，函数的减区间为，. 10分（3）由，则，当时，函数在单调递增，又，时，与函数矛盾， 12分当时，；，函数在单调递减；单调递增，（）当时，又，与函数矛盾，（）当时，同理，与函数矛盾，（）当时，函数在单调递减；单调递增，故满足题意综上所述，的取值的集合为. 16分考点：利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立.