1、课时跟踪检测（五十九） 曲线与方程一、题点全面练1平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1，3)，若点C满足12 (O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线B椭圆C圆D双曲线解析：选A设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹是直线，故选A.2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy，x2y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P的轨迹是()解析：选D当
2、P沿AB运动时，x1，设P(x，y)，则(0y1)，故y1(0x2,0y1)当P沿BC运动时，y1，则(0x1)，所以y1(0x2，1y0)，由此可知P的轨迹如D所示，故选D.3设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22xB.(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22解析：选D如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)连接MA，PM，则MAPA，且|MA|1，又因为|PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以(x1)2y22.4设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2
3、，且1，则点P的轨迹方程是()A.x23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)解析：选A设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0.点Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将ax，b3y代入axby1，得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)5.如图所示，已知F1，F2是椭圆：1(ab0)的左，右焦点，P是椭圆上任意一点，过F2作F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A直线B.圆C椭圆D双曲线解析：选B延长F2Q，与F1P
4、的延长线交于点M，连接OQ.因为PQ是F1PF2的外角的角平分线，且PQF2M，所以在PF2M中，|PF2|PM|，且Q为线段F2M的中点又O为线段F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|F1M|(|PF1|PF2|)根据椭圆的定义，得|PF1|PF2|2a，所以|OQ|a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选B.6在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足t()，其中tR，则点C的轨迹方程是_解析：设C(x，y)，则(x，y)，t()(1t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y2x2.答案：y2x27设F1，F2为椭圆1的左、右焦点，A
5、为椭圆上任意一点，过焦点F1向F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是_解析：由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证RtABDRtAF1D，则|F1D|BD|，|F1A|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则ODF2B，从而可知|DO|F2B|(|AF1|AF2|)2，设点D的坐标为(x，y)，则x2y24.答案：x2y248(2019福州质检)已知A(2,0)，B(2,0)，斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足|MA|MB|2，|NA|NB|2，且线段MN的中点为(6,1)，则k的值为_解析：因为|MA|MB|2，|NA|NB|2，由双曲线的定义知，点M，N在
6、以A，B为焦点的双曲线的右支上，且c2，a，所以b1，所以该双曲线的方程为y21.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x212，y1y22.设直线l的方程为ykxm，代入双曲线的方程，消去y，得(13k2)x26mkx3m230，所以x1x212，y1y2k(x1x2)2m12k2m2，由解得k2.答案：29.如图，动圆C1：x2y2t2(1t3)与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解：由椭圆C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设
7、点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由相乘得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0)10(2019武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn2.(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PNx轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若 (1)，求证：.解：(1)依题意知，直线A1N1的方程为y(x)，直线A2N2的
8、方程为y(x)，设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，得y2(x26)，又mn2，整理得1.故点M的轨迹C的方程为1.(2)证明：设过点R的直线l：xty3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，y1)，由消去x，得(t23)y26ty30，(*)所以y1y2，y1y2.由，得(x13，y1)(x23，y2)，故x13(x23)，y1y2，由(1)得F(2,0)，要证， 即证(2x1，y1)(x22，y2)，只需证2x1(x22)，只需，即证2x1x25(x1x2)120，又x1x2(ty13)(ty23)t2y1y23t(y1y2)9，x1x2ty13ty23t(y1y2)
9、6，所以2t2y1y26t(y1y2)185t(y1y2)30120，即2t2y1y2t(y1y2)0，而2t2y1y2t(y1y2)2t2t0成立，即成立二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A两条直线B.两条射线C两条线段D一条直线和一条射线解析：选D原方程可化为或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线2动点P为椭圆1(ab0)上异于椭圆顶点A(a,0)，B(a,0)的一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F1P，F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的()A抛物线B.椭圆C
10、双曲线的右支D一条直线解析：选D如图，设切点分别为E，D，G，由切线长相等可得|F1E|F1G|，|F2D|F2G|，|PD|PE|.由椭圆的定义可得|F1P|PF2|F1P|PD|DF2|F1E|DF2|2a，即|F1E|GF2|2a，也即|F1G|GF2|2a，故点G与点A重合，所以点M的横坐标是xa，即点M的轨迹是一条直线(除去A点)，故选D.3已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB
11、1|FA|FB|，所以|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线的焦点轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)4.如图，P是圆x2y24上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程解：(1)设M(x，y)，则D(x,0)，由，知P(x,2y)，点P在圆x2y24上，x24y24，故动点M的轨迹C的方程为y21，且轨迹C是以(，0)，(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆(2)设E
12、(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：yk(x3)，代入y21，得(14k2)x224k2x36k240，(24k2)24(14k2)(36k24)0，得k2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k6k.四边形OAEB为平行四边形，(x1x2，y1y2)，又(x，y)，消去k得，x24y26x0，k2，0x.顶点E的轨迹方程为x24y26x0.(二)交汇专练融会巧迁移5.与立体几何交汇如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线B.抛物线C椭圆D双曲线的一支解析：选C母线与
13、中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线AB与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆故选C.6与新定义问题交汇若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”以下曲线不是“好曲线”的是()Axy5B.x2y29C.1Dx216y解析：选BM到平面内两点A(5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，M的轨迹是以A(5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为1.A项，直线xy5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B项，x2y29的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，1的右顶点为(5,0)，故椭圆1与M的轨迹有交点，满足题意；D项，把x216y代入1，可得y1，即y29y90，0，满足题意7与正弦定理交汇已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且顶点A，B的坐标分别为(4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sin Bsin Asin C，则C点的轨迹方程为_解析：由sin Bsin Asin C可知bac10，则|AC|BC|108|AB|，满足椭圆定义令椭圆方程为1，则a5，c4，b3，则轨迹方程为1(x5)答案：1(x5)