1、14.3正切函数的性质与图象内容标准学科素养1.会求正切函数ytan(x)的周期2.掌握正切函数ytan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.应用直观想象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第29页基础认识知识点一正切函数的性质阅读教材P4244，思考并完成以下问题根据诱导公式二、三及正切线，可得出正切函数哪些性质？(1)由正切函数的定义得出定义域是什么？提示：.(2)由公式二tan(x)tan x，可得出ytan x的什么性质？提示：周期性(3)由公式三tan(x)tan x可得出ytan x的什么性质？提示：是奇函数(4)当x大于且无限接近时
2、，正切线AT趋近_当x小于且无限接近时，正切线AT趋近_可得ytan x的值域为_提示：R知识梳理函数ytan x的性质.定义域值域R最小正周期奇偶性奇函数单调性在开区间kZ内都是增函数思考正切函数在整个定义域内是增函数吗？提示：不是知识点二正切函数的图象思考并完成以下问题如何根据正切线作正切函数的图象？(1)利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？提示：作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)连线，得到如图所示的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以
3、得到正切函数ytan x，xR且xk(kZ)的图象，把它称为正切曲线(如图所示)可以看出，正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ所隔开的无穷多支曲线组成的(2)我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数ytan x，x的简图吗？怎样画？提示：能，三个关键点：，(0，0)，两条平行线：x，x.知识梳理(1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ所隔开的无穷多支曲线组成的思考正切函数ytan x的对称中心坐标是什么？提示：kZ.自我检测1比较大小：tan_tan.答案：2函数ytan x的值域是_答案：(，11，)授课提示：对应学
4、生用书第29页探究一正切函数的定义域、值域问题阅读教材P4445例6方法步骤：整体思想例1(1)函数y3tan的定义域为_；解析k，kZ，x4k，kZ.答案(2)函数ytan，x的值域是_解析当x时，2x，tan0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”，令xk，kZ，解得x.(3)求含有正切函数的复合函数的值域(或最值)的基本方法是换元法，换元后转化为以前所学过的函数值域问题，或利用正切函数的单调性来求解延伸探究1.将本例(1)变为ytan 2x，其定义域为_解析：2xk，kZ，x，kZ.答案：2将本例(2)变为：求ytan，x的值域解析：ytantan.x，2x.由正切函数的单调性质，得0
5、tan，故函数ytan，x的值域为，03将本例(3)增加条件，x，其他条件不变，求值域解析：ttan x，x，t1，1y(t2)25，在t1，1上为增函数当x1，ymin4，当x1时，ymax4，值域为4，4探究二正切函数的单调性问题阅读教材P44例6角度1求正切函数的单调区间例2求函数y3tan的单调递减区间解析y3tan3tan，由kk，kZ，得4kx4k，kZ，y3tan的单调递减区间为，kZ.角度2比较大小例3不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小(1)tan 167与tan 173；(2)tan与tan.解析(1)90167173180，又ytan x在90x270范围内是增
6、函数，tan 167tan 173.(2)tantantan，tantantan.又0，函数ytan x，x是增函数，tantan，即tantan.角度3解正切不等式例4求函数ylg(1tan x)的定义域解析由题意得即1tan x0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可(2)若a的不等式，先解出内的解集，然后再加周期跟踪探究1.下列不等式中，正确的是()AtantanBtantanCtantan解析：tantantan；tantantan，tantan；tantantantan，tantantantan，tantan，tan
7、tan.故选D.答案：D2函数y3tan的单调区间为_解析：y3tan3tan，由k2xk，kZ，得x(kZ)，所以y3tan的单调递减区间为(kZ)答案：(kZ)3不等式tan x0的解集为_解析：由tan x0，得tan x.如图，利用图象知，所求解集为(kZ)答案：(kZ)探究三正切函数综合问题例5设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图解析(1)，最小正周期T2.令(kZ)，得xk(kZ)，f(x)的对称中心是(kZ)(2)令0，则x；令，则x；令，则x；令，则x；令，则x.函数ytan的图象与x轴的一个交点坐标是在这个
8、交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得到函数yf(x)在一个周期内的简图(如图)方法技巧熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是由相互平行的直线xk，kZ隔开的无穷多支曲线组成，ytan x的对称中心为，kZ.对于ytan(x)的最小正周期T.跟踪探究4.画出f(x)tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性解析：f(x)tan|x|化为f(x)根据ytan x的图象，作出f(x)tan|x|的图象，如图所示由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(kZ)；单调减区间为，(kZ)授课提示：对应学生用书第31页课后小
9、结1正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增2对于ytan x，不能认为其在定义域上为增函数，应为在每个区间(kZ)内为增函数不能写成闭区间，且无减区间3正切函数图象的对称中心的坐标是(kZ)正切函数的图象无对称轴素养培优1忽视正切函数的定义域典例解不等式tan x1.易错分析此题易忽视其定义域，kZ，而错写为：.自我纠正解析当x时，tan1.tan xtan，x.又Tk，不等式解集为.2理解错正切函数的对称中心坐标典例函数f(x)tan(x)(0的情况的值而丢解自我纠正解析由题意得ytan x的最小正周期为，T，2.答案24正切函数图象的相对位置画错典例在区间2，2内，函数ytan x与函数ysin x的图象交点的个数为()A3B5C7D9易错分析此题易把ysin x与ytan x的图象的位置关系画错：认为上，两者有三个交点，错选为D.自我纠正解析时，两者只有一个交点(0，0)，其余的交点为(，0)，(2，0)，(，0)，(2，0)，选B.答案B