1、育才学校2019届高三下学期第一次模拟卷理科数学试题全卷满分150分，考试用时120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意要求的。1.设集合， ，则A. B. C. D. 2.复数满足（为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D. 3.九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），
2、问各得多少鹿？”已知上造分只鹿，则公士所得鹿数为 A. 只 B.只 C.只 D.只4.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为参考数据：，A. 12 B. 24 C. 48 D. 965.函数的图像大致为6.函数 ,若在区间上是单调函数,且则的值为A. B.或 C. D. 或7. 将函数的图像向右平移（）个单位后得到函数的图像. 若对满足的，有，则A. B. C. D. 8.某几何体的三视
3、图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D. 9. 如图，半径为1的扇形中， ， 是弧上的一点，且满足， 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. 1 D. 10.如图，二面角的大小为， ，且， ，则AD与所成角的大小为A. B. C. D. 11.函数在上存在两个极值点，则实数的取值范围为A. B. C. D. 12.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若变量满足约束条件，则的最小值为_14.二
4、项式展开式中的常数项是_15.已知为正实数，且，则的最小值为_16.已知G为ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中则ABC和AMN的面积之比为_.三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分12分）已知等比数列满足条件，(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求的前n项和18. （本小题满分12分）从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为.（1）求的值；（2）若某大学专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这1
5、00人中能报考专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学专业的调查，记抽到的学生中视力在的人数为，求的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）在四棱柱中，底面是正方形，且， （1）求证： ；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点与椭圆：的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为.（1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的上顶点为，过作斜率为的直线交椭圆于另一点，线段的中点为，为坐标原点，连接并延长交椭圆于点，的面积为，求的值.21
6、. （本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于， 两点，其横坐标分别为， ，线段的中点的横坐标为，且， 恰为函数的零点，求证： .22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）如果对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值.参考答案1234567891
7、01112CBCBABCDCCDB13. 14.5 15. 16.17. (1) (2) .解：（1） 设的通项公式为， 由已知得，由已知得所以，所以的通项公式为. （2） 当n=1时， ，当n2时，所以由-得到，综上，所以由-得到， 18. 解：（1）；（2）的可能取值为0，1，2，3，概率为：，所以其分布列如下：0123则.19. 解析：（1）连接， ， ，因为， ，所以和均为正三角形，于是设与的交点为，连接，则，又四边形是正方形，所以，而，所以平面又平面，所以，又，所以（2）由，及，知，于是，从而，结合， ，得底面，所以、两两垂直如图，以点为坐标原点， 的方向为轴的正方向，建立空间直角坐
8、标系，则， ， ， ， ， ， ，由，易求得设（），则，即，所以设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为20.(1);(2).解：（1）因为抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，又椭圆的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为，故椭圆的方程是.（2）由题意设直线的方程为，设点由得解得，直线斜率，直线的方程为，由得点到直线：的距离为，又，令，则，解得，解得或（舍）的值为.21.解析：（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时， 恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得
9、，此时单调递减.综上所述，当时， 在内单调递增；当时， 在内单调递减，在， 内单调递增.（2）由（1）知， ，所以的两根， 即为方程的两根.因为，所以， ， .又因为， 为的零点，所以， ，两式相减得，得.而，所以 .令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.所以.22.解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ； （2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即23.（1）或.（2）3解：（1）由题意不等式可化为，当时，解得，即；当时，解得，即；当时，解得，即，综上所述，不等式的解集为或.（2）由不等式可得，故实数的最大值是.
