1、课时跟踪检测(三十三)导数的几何意义A级基础巩固1.如图，曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线l过点(2，0)，且f(1)2，则f(1)的值为()A1B1C2 D3解析：选C曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线l过点(2，0)，且f(1)2，所以切线方程为y2(x2)因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)2(12)2.故选C.2设f(x)存在导函数，且满足 1，则曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2B1C1 D2解析：选B f(1)1.3(多选)下列各点中，在曲线yx32x上，且在该点处的切线倾斜角为的是()A(0，0) B(1，1)C(1，1) D(1，1)解
2、析：选BC设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0) 3x2tan 1，所以x01，当x01时，y01，当x01时，y01.4(多选)设P0为曲线f(x)x3x2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A(1，0) B(2，8)C(1，4) D(2，12)解析：选ACf(x) 3x21.由于曲线f(x)x3x2在P0处的切线平行于直线y4x1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f(x0)3x14，解得x01，P0的坐标为(1，0)或(1，4)5过正弦曲线ysin x上的点的切线与ysin x的图象的交点个数为()A0个 B1个C2个 D无数
3、个解析：选D由题意，yf(x)sin x，则f .当x0时，cos x1，f0.曲线ysin x的切线方程为y1，且与ysin x的图象有无数个交点6曲线f(x)ax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a_解析：f(1) (2aax)2a，2a2，a1.答案：17已知函数f(x)ax22bx的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y4x3，则a_，b_解析：根据导数定义可知，f(x) 2ax2b，可得函数的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为f(1)2a2b4.由切线方程为y4x3，可得f(1)a2b437，所以a3，b5.答案：358设点P是曲线yx3x上的任意一点，点P处的切线的
4、倾斜角为，则的取值范围为_解析：设切点P(x0，y0)，y (x)23xx3x23x2，而3x2.又点P处的切线的倾斜角为，则ktan .又0，)，所以.答案：9在抛物线f(x)x2上哪一点处的切线平行于直线4xy10？哪一点处的切线垂直于这条直线？解：f(x) (2xx)2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4xy10，则f(x0)2x04，解得x02，所以y0x4，即P(2，4)，经检验，符合题意设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4xy10，则f(x1)2x1，解得x1，所以y1x，即Q，经检验，符合题意故抛物线f(x)x2在点(2，4)处的切线平行于直线4xy1
5、0，在点处的切线垂直于直线4xy10.10已知直线l：y4xa和曲线C：yx32x23相切，求a的值及切点的坐标解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，(x)2(3x02)x3x4x0. 3x4x0，即f(x0)3x4x0，由导数的几何意义，得3x4x04，解得x0或x02.切点的坐标为或(2，3)，当切点为时，有4a，a，当切点为(2，3)时，有342a，a5.综上，当a时，切点为；当a5时，切点为(2，3)B级综合运用11已知直线axby20与曲线f(x)x3在点P(1，1)处的切线互相垂直，则为()A. B.C D解析：选Df(1) 3，f(x)x3在点P(1，1)处的切线斜率k3
6、，由条件知，31，.12已知直线xyb是函数f(x)ax的图象在点(1，m)处的切线，则ab_，m_解析：由题意知ma2，1mb，因为f(1) a2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a2，由a21，得a1，m3，b4，ab5.答案：5313若点P是抛物线f(x)x2上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_解析：由题意可得，当点P到直线yx2的距离最小时，点P为抛物线f(x)x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线yx2，由导数的几何意义知f(x) 2x1，解得x，所以P，故点P到直线yx2的最小距离d.答案：14已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx，若曲线yf(x
7、)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值解：f(x) 2ax，f(1)2a，即切线斜率k12a.g(x) 3x2b，g(1)3b，即切线斜率k23b.在交点(1，c)处有公共切线，2a3b.又a11b，即ab，故可得C级拓展探究15已知曲线f(x)x21，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由解：2xx，f(x) (2xx)2x.设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为kf(x0)2x0，由点斜式可得所求切线方程为yy02x0(xx0)又切线过点(1，a)，且y0x1，a(x1)2x0(1x0)，即x2x0a10.切线有两条，(2)24(a1)0，解得a2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(，2)
