1、专题十六 压强、浮力之弹簧伸缩问题【考点梳理】弹簧伸缩问题的难点在于弹簧的长度变化和液面的变化是动态的，要解决这类问题需尽可能的将动态变化转化为静态变化，静态分析弹簧的长度变化和液面变化，从而化难为简准确全面的分析达到解决问题的目的。1、加水问题（1）明确弹簧的受力情况和伸缩变化量之间的关系，这是解决这一问题的关键；（2）对物体加水前进行受力分析，明确物体受到弹簧的作用力的方向，进而明确弹簧是伸长还是压缩；（3）分析物体在加水后深度的变化量进而分析物体受到的浮力的变化量；（4）根据浮力的变化量明确弹簧的伸缩量；（5）水位变化量就是加水深度的变化量和弹簧的伸缩量之和。水位变化量hh1+h2加水体
2、积VS容h2+（S容SA）h1【典例赏析】1水平升降台面上有一个足够深、底面积为的柱形容器，容器中水深，水对容器底部的压强为，现将底面积为、高的圆柱体悬挂在固定的弹簧测力计下端，使浸入水中，稳定后，的下表面距水面，此时物体受到的浮力为，弹簧测力计的示数为已知弹簧受到的拉力每减小，弹簧的长度就缩短，下列说法中正确的是A，B物体的密度为C如果往容器中再倒入的水，则液面上升，此时物体受到的浮力大小为D使升降台上升，再次稳定后，此时水对容器底的压力大小为2如图所示，用质量不计、长度为的弹簧将边长为的正方体物块的下表面与底面积为的圆柱形容器底部相连，正方体物块竖直压在弹簧上且不与容器壁接触，此时弹簧的长
3、度缩短为；然后向容器内部缓慢倒入水（水不溢出），当弹簧的长度恰好恢复到原长时停止倒水，现将一小铁块轻压在正方体物块上，正方体刚好没入水中（水不溢出），此时水对容器底部的压强为，弹簧缩短的长度为已知：弹簧的长度每改变，所受力的变化量为，取。下列说法错误的是A正方体物块的质量是B小铁块的质量是C弹簧缩短的长度是D容器底部的压强是3如图所示，重的薄壁容器放在水平硬板上，容器底面积为，高度为，装有深的水。一根原长为的轻质弹簧吊着柱形木块刚好静止在水面上。弹簧上端连接在固定不动的支架上，下端连接在木块（不吸水）上表面的中心上。在弹性限度内，弹簧长度每改变，弹力变化量为木块的重力为，底面积为，高度为，若木
4、块浸入水中的深度为时，木块此时所受的浮力为现将水平硬板从图中状态缓慢向上移动时，容器对硬板的压强为（木块始终保持竖直方向，弹簧均在弹性限度内）。4如图甲所示，在容器底部固定一轻质弹簧，弹簧上端连有一边长为的正方体物块，当容器中水的深度为时，物块有 的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然伸长状态，则物块的密度为 ；往容器缓慢加水（水未溢出）至物块恰好浸没时水对容器底部压强的增加量为 ，取，整个过程中弹簧受到的拉力跟伸长量关系如图乙所示）5在一足够高的容器底部固定一轻质弹簧，弹簧原长，弹簧上方连有正方体木块，木块的边长为，容器的底面积为，如图所示，此时弹簧长度为6 （已知弹簧的长度每改变，所受力的变
5、化量为。现向容器内注入某种液体，当木块有的体积浸入液体中时，弹簧恰好处于自然伸长状态，则木块的密度为，在木块正上方再放置一合金块，静止时液面刚好浸没已知合金块的体积为，高为，则合金块的重力为（弹簧的体积忽略不计）6在一个足够深的容器内有一定量的水，将一个长、横截面积的圆柱形实心塑料块挂于弹簧秤上，当塑料块底面刚好接触水面时，弹簧秤示数为4牛，如图甲所示。已知弹簧的伸长与受到的拉力成正比，弹簧受到1牛的拉力时伸长。若往容器内缓慢加水，当所加水的体积至时，弹簧秤示数恰为零。此过程中水面升高的高度与所加水的体积的关系如图乙所示。根据以上信息，可求出：（1）塑料块的密度为 ；（2）当弹簧秤的示数为1牛
6、时，水面升高为 。7如图甲所示，在容器底部固定一轻质弹簧，弹簧上端连有一边长为的正方体物块，当容器中水的深度为时，物块有的体积露出水面，此时弹簧恰好处于原长状态，取。求：（1）物块受到的浮力；（2）物块的密度；（3）往容器缓慢加水（水未溢出）至物块恰好浸没时水对容器底部的压强（整个过程中弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量关系如图乙所示；液体压强公式。8底面积为、重的薄壁圆柱形容器放在水平地面上，用原长为的弹簧将边长为的正方体的下表面中点与容器底部相连，向容器内加水至刚好浸没，如图甲所示，此时弹簧长，对弹簧的拉力为现打开阀门缓慢放水，当对弹簧的作用力大小再次等于时关闭阀门已知弹簧受力的大小与弹簧长度的
7、变化量间的关系如图乙所示。不计弹簧的体积及其所受的浮力。求：（1）正方体的密度；（2）从开始放水到关闭阀门，放出水的质量；（3）关闭阀门时，容器对水平地面的压强。9在一个足够深的容器内装有的水，将一个长、横截面积、重为的圆柱形实心塑料块挂于弹簧测力计上，塑料块地面刚好接触水面，如图所示。（水未溢出，取求：（1）未往容器内加水时容器底部所受的液体压强。（2）塑料块的密度。（3）若往容器内缓慢加水，当弹簧测力计示数为时，木块受到的浮力。（4）如果在弹性范围内弹簧的伸长与受到的拉力成正比，弹簧受到的拉力时伸长。在第（3）问中，加水的深度是多少。10如图所示，在一个底面积足够深的柱形容器内装有深的水，
8、将一个长，横截面积的圆柱形实心塑料块挂于弹簧秤上，当塑料块底面刚好接触水面时，弹簧秤示数为已知弹簧的形变量与受到的拉力成正比，即弹簧受到的拉力时伸长。若往容器内缓慢加水：求：（1）该实心塑料块的密度；（2）往容器缓缓加水的过程中，当塑料块上浮时，此时塑料块所受浮力的大小以及容器底部所受水的压强变化了多少；（3）当加入水时，塑料块所受浮力是多少？11如图所示，柱形木块的重力为，底面积为，体积为，木块的底部与一个底面积为，足够高的柱形容器底部连接着一轻质弹簧，该弹簧不受外力时的长度为，弹簧上产生的弹力与弹簧的形变量成正比（形变量，弹力，若木块浸入水中的体积占总体积的，液体深度是，求：（1）此时弹簧
9、对物体的作用力为多少；（2）向容器中加水，当物体刚好漂浮时，水对容器底的压强为多少；（3）继续向容器中加水，直到刚好浸没，则从图示位置到刚好浸没需要加水的体积为多少。12如图甲所示，在容器底部固定一轻质弹簧，弹簧上端连有一边长为的正方体物块，当容器中水的深度为时，物块有的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然伸长状态水，取。求：（1）物块受到的浮力；（2）物块的密度；（3）往容器缓慢加水（水未溢出）至物块恰好浸没时水对容器底部压强的增加量（整个过程中弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量关系如图乙所示）。13如图甲所示，有一体积、质量忽略不计的弹簧，其两端分别固定在容器底部和正方体形状的物体上。已知物体的边
10、长为。弹簧没有发生形变时的长度为，弹簧受到拉力作用后，伸长的长度与拉力的关系如图乙所示。向容器中加水，直到物体上表面与液面相平，此时水深。求：（1）物体受到的水的浮力。（2）物体的密度。（3）打开出水孔，缓慢放水，当弹簧处于没有发生形变的自然状态时，关闭出水孔。求放水前后水对容器底部压强的变化量。14如图甲所示，水平地面上有一底面积为的圆柱形容器（容器重和容器壁厚度不计），容器内盛有深的水，一个量程选择合适的弹簧测力计下端用细线挂着一个边长为的不吸水的正方体物块缓慢放入水中，物块的上表面与水面刚好相平，如图乙所示。已知在一定范围内，弹簧受到的拉力每减少，弹簧的长度就缩短。求：（1）图甲所示中水
11、对容器底部的压强是多少？（2）图乙所示中容器对水平地面的压强是多少？（3）图乙所示中从容器内向外缓慢抽水，直至物块有一半浸在水中，抽水后水对容器底部的压强改变了多少？参考答案1.【答案】D【解析】（1）水对容器底部的压强：，的下表面距水面时，物体排开水的体积：，则物体受到的浮力：，故错误；（2）由可得，物体的重力：，由可得，物体的质量：，物体的体积：，则物体的密度：，故错误；（3）假设加水时，不动，则水面上升：，因浸在水中，受到浮力为，此时浸入水中的深度：，根据，即在浸没前，增加的浮力与增加的浸入深度成正比，故增加的水的深度为时，增加的浮力为：，受到的浮力为：；此时浮力增大，因此上升，已知弹簧
12、受到的拉力每减小，弹簧的长度就缩短，由题易知，上升，减小，液面下降：，减小，设上升，则；再次平衡后有：将代入得：，水平下降：，水面实际上升：，实际浸入深度：；故受到的浮力为；错误；（4）设容器上升，不动，则拉力为：，此时，故要下降才能平衡，设下降，则拉力增加，水面上升，浮力变大，于是，；平衡后，浸没的深度为：，水的深度为：；水对容器的压力：，正确。2.【答案】B【解析】（1）正方体物块竖直压在弹簧上且不与容器壁接触，此时弹簧的长度缩短为，弹簧的长度每改变，所受力的变化量为，弹簧由变为，缩短了，故物体对弹簧的压力，即自身重力为，质量：；故正确，不符合题意；（2）倒入水后，弹簧恢复原长，则，根据得
13、，；所以物体浸入水中的深度；由题意知，物体全部浸没时，；物体浸入水中的深度增加了，当在物块上面加铁块，在物块下降的同时水面会上升，又因为物块的底面积为，容器的底面积为，所以物体周围的面积为，则物块下降的距离与水面上升的距离相等，因此弹簧的长度减小了：，故正确，不符合题意；（3）因为弹簧的长度减小了，此时弹簧对物块的支持力为；以物块和铁块组成的整体为研究对象进行受力分析：，则；故错误，符合题意；（4）弹簧缩短的长度为，即压缩后弹簧长为：；水的深度：；容器底部所受压强：，故正确，不符合题意；3.【答案】1，2000。【解析】根据阿基米德原理，当木块浸入水中的深度为时，其所受的浮力为：。水的重力：，
14、当硬板向上移动时，弹簧的长度，则此时弹簧的形变量为为，因弹簧长度每改变，弹力变化量为。则弹簧对木块的弹力为，弹力的方向竖直向下，所以容器对硬板的压力为：，则容器对硬板的压强为：。4.【答案】；800。【解析】（1）物块体积为，则，；（2）弹簧恰好处于自然状态时没有发生形变，；（3）物块刚好完全浸没水中；由图乙可知：此时弹簧伸长了，当容器中水的深度为时，物块有的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然伸长状态，则弹簧原长，物块刚好完全浸没水中弹簧长度；则水面的高度为，水面升高的高度。5.【答案】；10.8。【解析】（1）由题可知，弹簧上方连有正方体木块时，其长度只有，则弹簧的压缩量，此时物体的重力与弹
15、簧产生的弹力平衡，则，则木块的密度：；当木块有的体积浸入液体中时，弹簧恰好处于自然伸长状态即，则液体的深度：；此时容器内液体的体积：，弹簧恰好处于自然伸长即不产生弹力，则此时木块受到的浮力：，则液体的密度：。（2）在木块正上方再放置一合金块，静止时液面刚好浸没，如图所示：此过程中容器中液体的体积并没有改变即仍为，则、和液体的总体积：，则此时液体的深度：，所以此时弹簧的长度，则弹簧的压缩量，此时弹簧产生的向上弹力：，均浸没，则所排开液体的体积：，所受的浮力：，分析可知，此时受到向上的浮力、向上的弹力和向下的总重力，由力的平衡条件可得：，则的重力：。6.【答案】（1）；（2）9。【解析】（1）当塑
16、料块底面刚好接触水面时，弹簧秤示数为4牛，则可知塑料块的重力，塑料块的体积，则塑料块的密度：；（2）由题知，当所加水的体积至时，弹簧秤示数恰为零（即塑料块恰好漂浮），则；由图乙可知，此时。由可得，塑料块浸入水中的深度：，塑料块下面新加入水的深度；当弹簧测力计的拉力为时，弹簧向下伸长，则与塑料块恰好漂浮相比，塑料块下新加入水的深度，此时塑料块受的浮力。此时塑料块浸入水中的深度：，此时水面升高的高度：。7.【答案】（1）物块受到的浮力为；（2）物块的密度为；（3）物块恰好浸没时水对容器底部的压强为。【解析】（1）物块体积为，则，由阿基米德原理可知：；（2）弹簧恰好处于自然状态时没有发生形变，则：，
17、即，则物体的密度为：；（3）物体漂浮时，浮力等于重力，即；物块恰好全部浸没时，受到的浮力为：；此时物体受到竖直向下的重力、弹簧向下的拉力、浮力的共同作用，则测力计的拉力；由图可知弹簧伸长；当容器中水的深度为时，物块有的体积露出水面，则物块恰好全部浸没时的水面比漂浮时水面上升；所以水面上升的总的高度为，水的深度为；水对容器底部的压强。8.【答案】（1）正方体的密度为；（2）从开始放水到关闭阀门，放出水的质量为；（3）关闭阀门时，容器对水平地面的压强为。【解析】（1）甲图中，正方体受到竖直向下的重力和弹力、竖直向上的浮力，由题意可得：当物体浸没时，弹簧由伸长到，则弹簧伸长，由图象可知物体受到的弹力
18、；物块体积：，因物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，所以，物体浸没时受到的浮力：；则正方体的重力：，由可得，正方体的质量：，正方体的密度：；（2）放水前水的深度为弹簧现在的长度加上正方体的边长，如图甲所示：即，则容器内水的体积：，打开阀门缓慢放水，当对弹簧的作用力大小再次等于时，弹簧的压缩量为，如图丙所示：正方体受到竖直向下的重力、竖直向上的浮力和弹力，则此时物体受到的浮力：，此时正方体排开水的体积：，正方体浸入水的深度：，容器内水的深度等于弹簧的原长减去压缩量再加上正方体浸入水的深度，即，容器内剩余水的体积：，放出水的体积：，则放出水的质量：；（3）关闭阀门时，容器内剩余水的质量，则，
19、容器对水平地面的压力，容器对水平地面的压强。9.【答案】（1）未往容器内加水时容器底部所受的液体压强为；（2）塑料块的密度为；（3）塑料块受到的浮力为；（4）加水的深度为。【解析】（1）未往容器内加水时容器底部所受的液体压强：；（2）塑料块的体积：，塑料块的质量：，塑料块的密度；（3）塑料块受到的浮力：；（4）由可得，物体浸入的深度，因为弹簧缩短的长度，所以，加水深度。10.【答案】（1）该实心塑料块的密度为；（2）往容器缓缓加水的过程中，当塑料块上浮时，塑料块所受浮力为；容器底部所受水的压强变化了；【解析】（1）根据可得，圆柱形实心塑料块的质量：，塑料块的体积：，塑料块的密度：；（2）由于弹
20、簧受到的拉力时伸长。所以当塑料块上浮，弹簧的伸长将减小，则弹簧的拉力减小，即测力计的示数为，根据称重法可知：此时塑料块受到浮力。当塑料块上浮，由得塑料块浸入水中的体积：；则塑料块浸入水的深度为，由于水面上升到塑料块上浮，塑料块底面上升，所以，两种情况下的高度之和就是水面变化的高度，即；则容器底部所受压强增大为；（3）设当加入水时，塑料块上浮，则弹簧的伸长将减小，由于弹簧受到的拉力时伸长，则弹簧的拉力减小量为，此时塑料块受到浮力。由得此时塑料块浸入水中的体积：；则塑料块浸入水的深度为，所以，。即：。所以，解得：，所以当加入水时，塑料块上浮，塑料块受到浮力。（3）当加入水时，塑料块所受浮力是。11
21、.【答案】（1）此时弹簧对物体的作用力为；（2）向容器中加水，当物体刚好漂浮时，水对容器底的压强为；（3）继续向容器中加水，从图示状态知道刚好浸没，需要加水的质量为。【解析】（1）木块浸入水中的体积占总体积的，所以，木块受到的浮力：，因为，所以此时受到竖直向下的重力、弹簧对向上弹力、竖直向上的浮力平衡，即：，所以此时弹簧对的作用力：；（2）物体刚好漂浮时，所以：，所以此时浸入水中的深度：，此时容器中水深：，水对容器底的压强：；（3）当向容器中加水刚好浸没时，受到的浮力：，因为，所以此时受到竖直向下的重力、弹簧对向下的拉力、竖直向上的浮力平衡，即：，所以此时弹簧对的拉力：；此时弹簧伸长的长度：，
22、所以此时弹簧的长度：，与从图示状态相比，加入水的体积：，由可得，加入水的质量：。12.【答案】（1）物块受到的浮力为；（2）物块的密度为；（3）往容器缓慢加水（水未溢出）至物块恰好浸没时水对容器底部压强的增加量为。【解析】（1）物块体积为，则，所以，物块受到的浮力为：；（2）弹簧恰好处于自然状态时没有发生形变，所以，即，所以物体的密度：；（3）物块刚好完全浸没水中时，弹簧的拉力：；由图乙可知，此时弹簧伸长了，当容器中水的深度为时，物块有的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然伸长状态，则弹簧的原长：，所以，物块刚好完全浸没水中弹簧的长度：；则浸没时水面的高度为：，则水面升高的高度：。物块恰好浸没时
23、水对容器底部压强的增加量：。13.【答案】（1）物体受到的水的浮力为；（2）物体的密度为；（3）打开出水孔，缓慢放水，当弹簧处于没有发生形变的自然状态时，关闭出水孔。求放水前后水对容器底部压强的变化量为。【解析】（1）物块刚好完全浸没在水中，则，物体所受的浮力：；（2）由图甲可知，当物体上表面上液面齐平时，物体上表面距容器底的距离为，弹簧伸长的长度：由图乙可知，此时弹簧对物体的拉力为，木块的重力：，物体的密度：；（3）当弹簧处于没有发生形变的自然状态时，此时物体受的浮力：，可得：；此时水的深度：；放水前后水对容器底部压强的变化量。14.【答案】（1）图甲所示中水对容器底部的压强是；（2）图乙所示中容器对水平地面的压强是；（3）图乙所示中从容器内向外缓慢抽水，直至物块有一半浸在水中，抽水后水对容器底部的压强改变了。【解析】（1）图甲所示中水对容器底部的压强：；（2）物块浸没时受到水的浮力：，由可得，水的质量：；容器质量不计，容器对桌面的压力：；容器对容器底的压强：。（3）根据力的合成可得，物体所受浮力减少了一半，原来是，减少，那么弹簧的拉力就增加。由题知：弹簧伸长了，那么物体下降了，而新的液面在物体高的中点位置，液面下降了，即深度减少量，压强减少量。
