1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题2四种命题及其关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp1两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性2两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必
2、要条件4若Ax|p(x)，Bx|q(x)，则(1)若AB，则p是q的充分条件；(2)若AB，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件1若集合A2，4，B1，m2，则“AB4”是“m2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析当m2时，有AB4；若AB4，则m24，解得m2，不能推出m2.故选B.2(2021吉林长春高三监测(三)已知直线a，b与平面，能使的充分条件是()A， Ba，ba，bCa，a Da，a答案D
3、解析a，过直线a作平面与交于直线b，ab，又a，b，又b，.故选D.3有下列几个命题：“若ab，则”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题其中真命题的序号是()A BC D答案C解析原命题的否命题为“若ab，则”，假命题；原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，真命题；原命题为真命题，故其逆否命题为真命题所以真命题的序号是.4(2021河南重点中学高三联考)“x2k(kZ)”是“tan x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当x2k(kZ)时，tan x1，即充分性成立；当tan x1时，x
4、2k(kZ)或x2k(kZ)，即必要性不成立综上可得，“x2k(kZ)”是“tan x1”的充分不必要条件故选A.5“若x，yR，x2y20，则x，y全为0”的否命题是 答案若x，yR，x2y20，则x，y不全为0解析根据命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”，其原命题的否命题是“若x，yR，x2y20，则x，y不全为0”6(2022安徽芜湖高三摸底)已知p：x27x100，q：x24mx3m20.若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 答案解析由q是p的充分不必要条件知p是q的充分不必要条件，又p：2x5，q：mxAC，则CB；(3)若x22x30，则x3.解(1)原命题：若一个
5、多位数的末位数字是0，则它是5的倍数.逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题(2)逆命题：在ABC中，若CB，则ABAC.否命题：在ABC中，若ABAC，则CB.逆否命题：在ABC中，若CB，则ABAC.这里，四种命题都是真命题(3)逆命题：若x3，则x22x30.否命题：若x22x30，则1x3.逆否命题：若1x3，则x22x30.这里，四种命题都是真命题(1)写一个命题的其他三种命题时，不是“若p，则q”形式的命
6、题，需先改写若命题有大前提，需保留大前提，本例(2)中，大前提“在ABC中”需保留(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假1.给出下列命题：“若ab，则a6”是“a236”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若a6，则a236，故充分性成立；若a236，则a6或a6，故必要性不成立所以“a6”是“a236”的充分不必要条件故选A.角度等价转化法判断充分、必要条件例4给定两个命题p，
7、q.若p是q的必要不充分条件，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为p是q的必要不充分条件，则qp但pq，其逆否命题为pq但qp，所以p是q的充分不必要条件.充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的何种条件2.(2021四川成都七中二诊)已知x，yR，则
8、“x2y21”是“(x1)(y1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由x2y21，可得1x1，且1y1.则可得到(x1)(y1)0，故充分性成立；反之若(x1)(y1)0，可取xy2，显然得不到x2y21，故必要性不成立，“x2y21”是“(x1)(y1)0”的充分不必要条件故选A.3设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由Venn图易知充分性成立反之，AB时，不妨取CUB，此时AC，故必要性成立故选C.4如果x，y是实数，那么“x
9、y”是“cos xcos y”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C解析因为xycos xcos y，而cos xcos y xy，所以“cos xcos y”是“xy”的必要不充分条件，即“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件考向三充分、必要条件的探求与应用例5(1)“不等式x2xm0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()Am B0m0 Dm1答案C解析不等式x2xm0在R上恒成立14m，在选项中只有“m0”是“不等式x2xm0在R上恒成立”的必要不充分条件，故选C.(2)(2022郑州模拟)已知“p：(xm)23(xm)”是“q：x23x
10、43(xm)，得(xm)(xm3)0，解得xm3或xm.由q中的不等式x23x40，得(x1)(x4)0，解得4x1.因为p是q的必要不充分条件，所以qp，即m34或m1，解得m7或m1.所以实数m的取值范围为(，71，).1条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时，一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”要注意条件与结论间的推出方向如“A是B的充分不必要条件”是指AB但BA；“A的充分不必要条件是B”是指BA但AB.以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆2根据充分、必要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之
11、间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象5.已知p：A，q：Bx|xa0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C(，1) D(，1答案D解析Ax|(x2)(x1)0且x1x|x1或x2，Bx|xa0x|xa，又p是q的必要不充分条件，BA，由数轴可得a1，故选D.6一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是()Aa0Ca1答案C解析
12、设ax22x10(a0)的两个根分别为x1，x2，则一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根等价于解得a0，这是方程有一个正根和一个负根的充要条件，由题意可知选C.1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21或x1D若x1或x1，则x21答案D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“1x1，则m4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m4，则m1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.4(2021浙江高考)已知非零
13、向量a，b，c，则“acbc”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由acbc可得(ab)c0，所以(ab)c或ab，所以“acbc”是“ab”的必要不充分条件故选B.5(2022开封模拟)已知直线l，m和平面，m，则“lm”是“l”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案D解析若lm，当l时，l，当l时不能得出l，故充分性不成立；若l，则l与m可能平行，也可能异面，故必要性也不成立由上可知“lm”是“l”的既不充分也不必要条件故选D.6(2022江西上饶六校联考)下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条
14、件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3答案A解析ab1ab；反之，例如a2，b1满足ab，但ab1，即ab推不出ab1，故ab1是ab成立的充分不必要条件故选A.7下列命题中为真命题的是()A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“若x21，则x1”的否命题C命题“若x1，则x2x0”的否命题D命题“若ab，则|y|，则xy”，由x|y|y可知其是真命题；B中原命题的否命题是“若x21，则x1”，是假命题，因为x21x1或xsin B”是“tan Atan B”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析在锐角三角形ABC中，根据正弦定理，知si
15、n Asin BabAB，而正切函数ytan x在上单调递增，所以ABtan Atan B故选C.9若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是p的逆命题t的()A逆否命题 B否命题C逆命题 D原命题答案B解析设命题p：“若x，则y”，则命题p的否命题r为“若x，则y”；命题r的逆命题s为“若y，则x”；又p的逆命题t为“若y，则x”，所以s是p的逆命题t的否命题10(2022山西吕梁一模)设p：关于x的方程4x2xa0有解；q：函数f(x)log2(xa2)在区间(0，)上恒为正值，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由
16、题意知p：方程a4x2x有解，a，所以a，q：log2(xa2)0在(0，)上恒成立，则0a21，解得a3，所以p是q的必要不充分条件故选B.11(2021全国甲卷)等比数列an的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q0，乙：Sn是递增数列，则()A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a11，q2时，Sn是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当Sn是递增数列时，有an1Sn1Sna1qn0，若a10，则qn0(nN*)，即q0；若a10，则qn0；命题q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围
17、是()A1，) B(，1C1，) D(，3答案A解析由x22x30，得x1，由q的一个充分不必要条件是p，可知p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件所以x|xax|x1，所以a1.13王昌龄的从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 条件(填“充分”“必要”“既不充分也不必要”中的一个).答案必要解析设p：攻破楼兰，q：返回家乡，由题意知pq，所以qp，故p是q的必要条件14给出下列不等式：x1；0x1；1x0；1x1.其中可以作为“x21”的一个充分条件的所有序号为 答案解析由于x21即1x1，显然不能使1x0，若p是q的充分
18、不必要条件，则实数a的取值范围是 答案解析q：(xa)(xa1)0axa1.由p是q的充分不必要条件，知或0a.16(2022河南许昌高三阶段考试)给出下列命题：已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的充分不必要条件；“x0”是“ln (x1)0”的必要不充分条件；“函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为”是“a1”的充要条件；“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“ab0”其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都填上).答案解析因为“a3”可以推出“AB”，但“AB”不能推出“a3”，所以“a3”是“AB”的充分不必要条件，故正确；“x0”不能推出“ln
19、(x1)0”，但由ln (x1)0可得1x0，即“ln (x1)0”可以推出“x0”，所以“x0”是“ln (x1)0”的必要不充分条件，故正确；因为f(x)cos2axsin2axcos2ax，所以若其最小正周期为，则a1，因此“函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为”是“a1”的必要不充分条件，故错误；“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“ab0”，但ab0时，平面向量a与b的夹角是钝角或平角，所以“ab0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故错误17已知p：x，q：x(x3)0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围解记Axx，Bx|x(x3)0x|0x3若p是q的充分不必要条件，则AB.注意到Bx|0x3，可分两种情况讨论：若A，即，解得m0，此时AB，符合题意；若A，即0，要使AB，应有或解得0m3.综上可得，实数m的取值范围是(，3).18已知集合Ax|0ax13(a0)，集合Bx|1x2若命题p：xA，命题q：xB，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解因为p是q的充分不必要条件，所以pq，q p，所以AB.由集合A得10时，由(*)式得A，所以或解得a1；当a0时，由(*)式得A，所以解得a2.综上所述，实数a的取值范围是a|a1