1、第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列2,5,11,20,x,47,中的x等于()A.28B.32C.33D.27解析:由5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得x=32.答案:B2.用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是()A.将结论与条件同时否定,推出矛盾B.肯定条件,否定结论,推出矛盾C.将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件答案:B3.由“正三角形的内切圆切于
2、三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面”.()A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C.答案:C4.已知c1,a=c+1-c,b=c-c-1,则下列结论正确的是()A.abB.ac+c-1,a0,且x1时,lg x+1lgx2B.当x0时,x+1x2C.当x2时,x+1x的最小值为2D.当0x2时,x-1x无最大值解析:选项A错在lg x的正负不确定;选项C错在等号成立的条件不存在;根据函数f(x)=x-1x的单调
3、性,当x=2时,f(x)取最大值32,故选项D错误.答案:B6.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:利用归纳推理:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案:C7.设xi,ai(i=1,2,3)均为正实数,甲、乙两名同
4、学由命题“若x1+x2=1,则a1x1+a2x2(a1+a2)2”分别推理得出了新命题:甲:若x1+x2+x3=1,则a1x1+a2x2+a3x3(a1+a2+a3)2;乙:若x1+x2+x3+x4=1,则a1x1+a2x2+a3x3+a4x4(a1+a2+a3+a4)2.他们所用的推理方法是()A.甲、乙都用演绎推理B.甲、乙都用类比推理C.甲用演绎推理,乙用类比推理D.甲用归纳推理,乙用类比推理答案:B8.已知数列an的前几项为23,415,635,863,1099,则猜想数列an的通项公式为()A.an=2n2n(2n-1)B.an=2(n-1)2n(2n-1)C.an=2n(2n-1)
5、(2n+1)D.an=2(n-1)(2n-1)(2n+1)解析:23=2113,415=2235,635=2357,863=2479,1099=25911,于是猜想数列an的通项公式为an=2n(2n-1)(2n+1).答案:C9.已知数列an的前n项和Sn=n2an(n2,nN),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于()A.2(n+1)2B.2n(n+1)C.22n-1D.22n-1解析:Sn=n2an(n2),a1=1,S2=4a2=a1+a2a2=13=232,S3=9a3=a1+a2+a3a3=a1+a28=16=243,S4=16a4=a1+a2+a3+a4a4=a1+
6、a2+a315=110=254.故猜想an=2n(n+1).答案:B10.用数学归纳法证明“1+12+13+12n-11)”时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.“已知x,yR,且x+y0,且x+y2,求证:1+xy2和1+yx0,则数列bn,bn=na1a2an(nN*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.解:类比等比数列的性质
7、,可以得到等差数列的一个性质是:若数列an是等差数列,则数列bn,bn=a1+a2+ann也是等差数列.证明如下:设等差数列an的公差为d,则bn=a1+a2+ann=na1+n(n-1)d2n=a1+d2(n-1),所以数列bn是以a1为首项,d2为公差的等差数列.18.(9分)设nN*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式;(2)记Tn=x12x32x2n-12,证明:Tn14n.(1)解y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(
8、x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.(2)证明由题设和(1)中的计算结果知Tn=x12x32x2n-12=1223422n-12n2.当n=1时,T1=14.当n2时,因为x2n-12=2n-12n2=(2n-1)2(2n)2(2n-1)2-1(2n)2=2n-22n=n-1n,所以Tn1221223n-1n=14n.综上可得对任意的nN*,均有Tn14n.19.(10分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴.求证:直线AC经过原点O.证明因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为
9、Fp2,0,所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+p2,代入抛物线方程,可得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2=-p2.因为BCx轴,且点C在准线x=-p2上,所以点C的坐标是-p2,y2,故直线CO的斜率为k=y2-p2=2py1=y1x1,即k也是直线OA的斜率.故直线AC经过原点O.20.(10分)设f(n)=1+12+13+1n,问是否存在关于自然数n的函数g(n)使等式f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于n2的一切自然数都成立?若存在,证明你的结论.解:假设存在关于自然数n的函数g(n
10、)使等式成立.则当n=2时,由f(1)=g(2)f(2)-1,得g(2)=f(1)f(2)-1=11+12-1=2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)f(3)-1,得g(3)=f(1)+f(2)f(3)-1=1+1+121+12+13-1=3,猜想g(n)=n(n2).下面用数学归纳法证明:当n2时,等式f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1恒成立.当n=2时,由上面计算知,等式成立.假设当n=k时,等式成立,即f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1.则当n=k+1时,f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)f(k+1)-1k+1-k=(k+1)f(k+1)-1,所以当n=k+1时,等式也成立.由知,对一切n2的自然数n,等式都成立,故存在函数g(n)=n,使等式成立.