1、2015年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复平面内复数对应的点在（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【专题】： 计算题【分析】： 把给出的复数运用复数的除法运算整理成a+bi（a，bR）的形式，得到复数的实部和虚部，则答案可求【解析】： 解：由=知复数的实部为，虚部为所以，复数对应的点位于第一象限故选：A【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数
2、，此题是基础题2（5分）已知集合A=x|x2，B=x|x2m2，且ARB，那么m的值可以是（） A 1 B 0 C 1 D 【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 计算题；集合【分析】： 化简求集合RB=x|x2m2，从而可得2m22，从而确定答案即可【解析】： 解：RB=x|x2m2，ARB；2m22；即m21；故选：B【点评】： 本题考查了集合的运算与集合包含关系的应用，属于基础题3（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若（+x），则实数x=（） A B C D 【考点】： 数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由向量的坐标运算可
3、得+x的坐标，由（+x）可得（+x）=0，解关于x的方程可得【解析】： 解：向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），+x=（1，0）+x（1，2）=（1+x，2x），（+x），（+x）=3（1+x）+8x=0，解得x=故选：A【点评】： 本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题4（5分）下列结论中正确的是（） A 若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 B 在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），若位于区域（0，1）的概率为0.4，则位于区域（1，+）内的概率为0.6 C 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每4分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的
4、抽样是分层抽样 D 利用随机变量2来判断“两个独立事件X，Y的关系”时，算出的2值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大【考点】： 相关系数【专题】： 综合题；概率与统计【分析】： A由线性相关系数r的特征，可以判定命题是否正确；B由变量N（1，2），根据对称性，求出位于区域（1，+）内的概率，判定命题是否正确；C根据系统抽样与分层抽样的特征，可以判定命题是否正确；D由随机变量K2与观测值k之间的关系，判断命题是否正确【解析】： 解：A两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0或1，因此不正确；B变量N（1，2），位于区域（1，+）内的概率为0.5，因此不正确；C从匀速传递的产品生产流水
5、线上，质检员每4分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统（等距）抽样，不是分层抽样，因此不正确；D利用随机变量2来判断“两个独立事件X，Y的关系”时，算出的2值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大，正确故选：D【点评】： 本题通过命题真假的判定，考查了统计学中有关的特征量问题，解题时应明确这些特征量的意义是什么，是易错题5（5分）给出程序框图，若输入的x值为5，则输出的y的值是（） A 2 B 1 C 0 D 1【考点】： 程序框图【专题】： 算法和程序框图【分析】： 根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件2时，确定x值，计算y=log2x2的值【解析】： 解：由程序
6、框图得：若输入的x值为5时，=25=322，程序继续运行x=3，=23=82，程序继续运行x=1，=2，不满足2，执行y=log2x2=log21=0故选：C【点评】： 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次运行程序是解答此类问题的常用方法6（5分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60的扇形，则该几何体的侧面积为（） A 12+ B 6+ C 12+2 D 6+4【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题【分析】： 根据俯视图是中心角为60的扇形，知几何体是圆柱体，由正视图知母线长为3，底面半径为2，求出底面弧长，代入侧面积公式计算【解析】： 解
7、：由三视图知几何体是圆柱体，且母线长为3，底面半径为2，弧长为2=，几何体的侧面积S=（+22）3=12+2故选：C【点评】： 本题考查了由三视图求几何体的侧面积，关键是判断三视图的数据所对应的几何量7（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（） A m B m C m D m【考点】： 解三角形的实际应用【专题】： 应用题；解三角形【分析】： 由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案【解析】： 解：如图，DAB=15，tan15=tan（4530
8、）=2在RtADB中，又AD=60，DB=ADtan15=60（2）=12060在RtADC中，DAC=60，AD=60，DC=ADtan60=60BC=DCDB=60（12060）=120（1）（m）河流的宽度BC等于120（1）m故选：B【点评】： 本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题8（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（） A 5 B 8 C 10 D 12【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论【解析】： 解：
9、作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（3，4），此时z=32+4=10，故选：C【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键9（5分）在平面直角坐标系中，点M（3，m）在角的终边上，点N（2m，4）在角+的终边上，则m=（） A 6或1 B 1或6 C 6 D 1【考点】： 任意角的三角函数的定义【专题】： 计算题；三角函数的求值【分析】： 直接利用任意角的三角函数的定义，列出关系式，然后求解即可【解析】： 解：由题意，tan=，tan（+）
10、=，m=6或1，故选：A【点评】： 本题考查三角函数的定义的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力10（5分）如图所示，函数f（x）=sin（x+）（0，|）的部分图象，已知x1，x2（，），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（） A 1 B C D 【考点】： 正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 根据函数图象求出函数的解析式，结合三角函数的对称性求出函数的对称轴即可得到结论【解析】： 解：由图象知函数的周期T=2（）=2=，即=，解得=2，则f（x）=sin（2x+），由五点法知2+=，解得=，即f（x）=sin（2x+），由2x+=，解得x=，即x=是函
11、数的一条对称轴，x1，x2（，），且f（x1）=f（x2），x1，x2关于x=对称，则x1+x2=2=，则f（x1+x2）=f（）=sin（2+）=sin=sin=，故选：D【点评】： 本题主要考查三角函数的性质是应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键11（5分）经过双曲线=1（ab0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若O是坐标原点，OMN的面积是，则该双曲线的离心率是（） A 2 B C D 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为，由两直线的夹角公
12、式，可得tan=tanMON，求出F到渐近线y=x的距离为b，即有|ON|=a，OMN的面积可以表示为aatan，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到【解析】： 解：双曲线=1（ab0）的渐近线方程为y=x，设两条渐近线的夹角为，则tan=tanMON=，设FNON，则F到渐近线y=x的距离为d=b，即有|ON|=a，则OMN的面积可以表示为aatan=，解得a=2b，则e=故选C【点评】： 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查两直线的夹角公式和三角形的面积公式，结合着较大的运算量，属于中档题12（5分）关于函数f（x）=x2（lnxa）+a，给出以下4个
13、结论：a0，x0，f（x）0；a0，x0，f（x）0；a0，x0，f（x）0；a0，x0，f（x）0其中正确结论的个数是（） A 0 B 1 C 2 D 3【考点】： 命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题【专题】： 简易逻辑【分析】： 令a=，进行验证即可；令a=5，通过验证结论成立；当a=5时，举反例x=5时，不满足条件；求函数的导数，判断函数存在极值进行判断【解析】： 解：当a=，则f（x）=x2（lnx）+，函数的定义域为（0，+），此时函数的导数f（x）=2x（lnx）+x2=2xlnxx+x=2xlnx，由f（x）=0得，x=1，则当x1时，则f（x）0，此时函数递增，当0x1时
14、，则f（x）0，此时函数递减，故当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=+=0，则对x0，f（x）f（1）=0；故正确，当a=5，则f（x）=x2（lnx5）+5，则f（e）=e2（lne5）+5=4e2+50，故a0，x0，f（x）0，成立由知当a=5时，x=e，满足e0，但f（e）0，故a0，x0，f（x）0不成立，故错误函数的导数f（x）=2x（lnxa）+x2=2x（lnxa）+x=x（2lnx2a+1）=2x（lnx+）由f（x）=0，则lnx+=0，即lnx=a，即a0，函数f（x）都存在极值点，即x0，f（x）0成立，故正确，综上正确是有，故选：D【点评】： 本
15、题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键难度较大二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（x2y）5的展开式中的x2y3系数是20【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 二项式定理【分析】： 先求得二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于2、y的幂指数等于3，可得r的值，即可求得x2y3系数【解析】： 解：（x2y）5的展开式的通项公式为Tr+1=（2）rx5ryr，令r=3，可得x2y3系数是20，故答案为：20【点评】： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题14（5分）已知f（x），g
16、（x）分别是R上的奇函数和偶函数，若f（x）+g（x）=log2（1+2x），则f（1）=【考点】： 函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 首先根据函数的奇偶性，利用赋值法直接建立方程组就可求出结果【解析】： 解：f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，则：f（x）=f（x），g（x）=g（x）令x=1时，f（1）+g（1）=log23，令x=1时，得：2f（1）=1，则：f（1）=故答案为：【点评】： 本题考查的知识要点：奇函数和偶函数的性质的应用，赋值法的应用，及相关的运算问题15（5分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点是F，点M（0，2），线段MF与C的交
17、点是N，过N作C准线的垂线，垂足是Q，若MQF=90，则p=【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 如图所示，由MQF=90，|NF|=|NQ|，可得点N是RtMQF的中点，因此N，|NQ|=解出即可【解析】： 解：如图所示，MQF=90，|NF|=|NQ|，点N是RtMQF的中点，N，|NQ|=，化为p2=2，解得：p=故答案为：【点评】： 本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）四面体ABCD的体积是，ABC是斜边AB=2的等腰直角三角形，若点A，B，C，D都在半径为的同一球面上，则D
18、与AB中点的距离是【考点】： 球的体积和表面积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 设AB的中点为E，求出D到平面ABC的距离，球心到平面ABC的距离，即可得出结论【解析】： 解：设AB的中点为E，则四面体ABCD的体积是，ABC是斜边AB=2的等腰直角三角形，D到平面ABC的距离为DF=，点A，B，C，D都在半径为的同一球面上，球心到平面ABC的距离为OE=1，如图所示，取OE的中点G，则DGOE，DE=OD=故答案为：【点评】： 本题考查几何体的体积，考查球，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（1
19、2分）（2014广西）数列an满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1an+2（）设bn=an+1an，证明bn是等差数列；（）求an的通项公式【考点】： 数列递推式；等差数列的通项公式；等差关系的确定【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）将an+2=2an+1an+2变形为：an+2an+1=an+1an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明bn是等差数列；（）由（）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn=an+1an并令n从1开始取值，依次得（n1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出an的通项公式an【解析】： 解：（）由an+
20、2=2an+1an+2得，an+2an+1=an+1an+2，由bn=an+1an得，bn+1=bn+2，即bn+1bn=2，又b1=a2a1=1，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列（）由（）得，bn=1+2（n1）=2n1，由bn=an+1an得，an+1an=2n1，则a2a1=1，a3a2=3，a4a3=5，anan1=2（n1）1，所以，ana1=1+3+5+2（n1）1=（n1）2，又a1=1，所以an的通项公式an=（n1）2+1=n22n+2【点评】： 本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题18（12分）如图，正三棱柱
21、ABCA1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点，（1）求证：BC1平面AB1D；（2）求二面角A1AB1D的大小【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，根据中位线可知BC1DE，又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，根据线面平行的判定定理可知BC1平面AB1D；（2）过D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF平面AB1，连接EF，DE，在正A1B1C1中，求出B1D，在直角三角形AA1D中，求出AD，即可证得AD=B1
22、D，则DEAB1，由三垂线定理的逆定理可得EFAB1则DEF为二面角A1AB1D的平面角，根据B1FEB1AA1，即可求出DEF【解析】： 解：（1）连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，DE为A1BC1的中位线，BC1DE又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，BC1平面AB1D（2）过D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF平面AB1，连接EF，DE，在正A1B1C1中，B1D=A1B1=，在直角三角形AA1D中，AD=，AD=B1DDEAB1，由三垂线定理的逆定理可得EFAB1则DEF为二面角A1AB1D的平面角，又得DF=，B1FEB1AA1，则EF
23、=，故所求二面角A1AB1D的大小为【点评】： 本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定等有关知识，二面角的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视19（12分）某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：（）估计这100名学生数学成绩的中位数；（）从数学成绩在130，150的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在140，150的人数
24、为X，求X的数学期望EX【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图【专题】： 应用题；概率与统计【分析】： （）根据这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比，即可估计这100名学生数学成绩的中位数；（）根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，求出X的分布列与数学期望即可【解析】： 解：（I），0.70.5=0.2，这100名学生数学成绩的中位数是；（6分）（II）数学成绩在100，140）之内的人数为数学成绩在140，150的人数为10090=10人，而数学成绩在130，140）的人数为0.2100=20人，X可取0，1，2，X分布列（12分）【点
25、评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目20（12分）已知椭圆=1（ab0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上（I）求椭圆的方程；（）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：PF2Q的周长是定值【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （I）利用椭圆的定义及其性质即可得出；（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用两点之间的距离公式与，可得，再利用切线的性质可得|PM|=，可得，同理|QF2|+|
26、QM|=3，即可证明；方法2：设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ的方程为y=kx+m（k0，m0），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|PQ，利用PQ与圆x2+y2=8相切的性质可得，得到，利用两点之间的距离公式可得，同理可得，即可证明【解析】： （I）解：根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1（1，0），F2（1，0），c=1，在椭圆上，a=3，b2=a2c2=8，椭圆的方程是；（II）证明：方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，0x13，在圆中，M是切点，同理|QF2|+|QM|=3，|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此PF2Q的周长是定
27、值6方法2：设PQ的方程为y=kx+m（k0，m0），由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m272=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，=，PQ与圆x2+y2=8相切，即，0x13，同理，因此PF2Q的周长是定值6【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）已知x=1是函数f（x）=1+（1x）ln（kx）的极值点，e自然对数底数（）求k值，并讨论f（x）的单调性；（）是否存在m（1，+），使得当am时，不等式（a+x）ln（
28、a+x）aexlna对任意正实数x都成立？请说明理由【考点】： 利用导数研究函数的极值【专题】： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】： （I）求导，从而令f（1）=0解得k=1；从而由导数的正负确定函数的单调性；（II）不等式（a+x）ln（a+x）aexlna可以化为，设，则h（a+x）h（a），即判断是否存在m（1，+），使h（x）在（m，+）是减函数，从而求导，由导数的正负确定函数的单调性从而说明m值存在【解析】： 解：（I），由题意f（1）=0，得k=1；此时f（x）=1+（1x）lnx，定义域是（0，+），令，g（x）0，g（x）在（0，+）是减函数，且g（1）=0，因
29、此当x（0，1）时，f（x）=g（x）0，当x（1，+）时，f（x）=g（x）0，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数；（II）不等式（a+x）ln（a+x）aexlna可以化为，设，则h（a+x）h（a），即判断是否存在m（1，+），使h（x）在（m，+）是减函数，f（1）=10，f（e）=2e0，h（x）在（0，1）和（1，+）上各有一个零点，分别设为x1和x2，列表：h（x）在（x1，x2）是增函数，在（x2，+）是减函数，x2（1，+），存在这样的m值，且m=x2【点评】： 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，注意“当am时，不等式h（a+x）h（a）对任意正实数x
30、都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，证明h（x）在（m，+）是减函数即可，属于中档题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，ACDE，AC与BD相交于H点（）求证：BD平分ABC；（）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 证明题；数形结合【分析】： （）证明BD平分ABC可通过证明D是的中点，利用相等的弧所对的圆周角相等证明BD是角平分线；（
31、）由图形知，可先证ABHDBC，得到，再由等弧所对的弦相等，得到AD=DC，从而得到，求出AH的长【解析】： 解：（）ACDE，直线DE为圆O的切线，D是弧的中点，即又ABD，DBC与分别是两弧所对的圆周角，故有ABD=DBC，所以BD平分ABC（）由图CAB=CDB且ABD=DBCABHDBC，又AD=DC，AB=4，AD=6，BD=8AH=3【点评】： 本题考查与圆有关的比例线段，解题的关键是对与圆有关性质掌握得比较熟练，能根据这些性质得出角的相等，边的相等，从而使问题得到证明【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲
32、线C的极坐标方程为24（）求C的参数方程；（）若点P（x，y）在曲线C上，求x+y的最大值和最小值【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： （）直接根据极坐标和直角坐标方程互化公式求解得到其直角坐标方程，然后，再将其化为参数方程即可，（）依据曲线C的参数方程，可以设该点P的三角形式，然后，借助于三角函数的最值求解【解析】： 解：（I）C的极坐标方程化为24cos4sin+6=0，C的直角坐标方程是x2+y24x4y+6=0，即（x2）2+（y2）2=2，C的参数方程是，是参数；（5分）（II）点P（x，y）在曲线C上，由（是参数）得到，x+y的最大值是6，最小值是
33、2（10分）【点评】： 本题重点考查极坐标方程和直角坐标方程、参数方程的互化、三角函数的最值等知识，属于中档题【选修4-5：不等式选讲】24已知关于x的不等式|ax1|+|axa|1（a0）（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围【考点】： 绝对值不等式的解法【专题】： 计算题【分析】： （1）当a=1时，可得2|x1|1，即，由此求得不等式的解集（2）不等式|ax1|+|axa|1解集为R，等价于|a1|1，由此求得实数a的取值范围【解析】： 解：（1）当a=1时，可得2|x1|1，即，解得，不等式的解集为 （5分）（2）|ax1|+|axa|a1|，不等式|ax1|+|axa|1解集为R，等价于|a1|1解得a2，或a0 又a0，a2实数a的取值范围为2，+） （10分）【点评】： 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题
