1、第七节函数的图象2019考纲考题考情1利用描点法作函数图象基本步骤是列表、描点、连线。首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)。其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b。(2)伸缩变换：yf(x)；yf(x)yAf(x)。(3)对称变换：yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)。(4)翻折变换：yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|。1左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的
2、只是x本身，利用“左加右减”进行操作。如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换。2上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作。但平时我们是对yf(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”。3记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称。(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称。(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称。 一、走进教材1(必修1P112A组T4改编)李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后
3、，为了赶时间加快速度行驶。则与以上事件吻合最好的图象是()解析距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快。答案C2(必修1P24A组T7改编)下列图象是函数y的图象的是()解析其图象是由yx2图象中x0，即2x(x1)(x1)0，解得x或0x，所以当y0时，x，所以函数yx4x22在，上单调递增，在，上单调递减。故选D。解析：令x0，则y2，排除A，B项；令x，则y22，令x，则y22，排除C。故选D。答案D三、走出误区微提醒：函数图象的平移、伸缩法则记混出错；不注意函数的定义域出错。4把函数f(x)lnx的图象上各点的横坐标
4、扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是_。解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为yln。答案yln5设f(x)2x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线yx对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)_。解析与f(x)的图象关于直线yx对称的图象所对应的函数为g(x)log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)log2(x1)的图象。答案log2(x1)6请画出函数yelnx|x1|的图象。解y其图象如图所示。考点一 作函数的图象【例1】作出下列函数的图象。(1)y；(2)y|x1|；(3)y|log2x1|；(4)yx22|x|1。解(1)易知函数的定义域
5、为xR|x1。y1，因此由y的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y的图象，如图所示。(2)先作出yx，x0，)的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y|x1|的图象，如图所示。(3)先作出ylog2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得到y|log2x1|的图象，如图所示。(4)y图象如图。【互动探究】将本例(4)改为y|x22x1|，其图象怎样画出？解y图象如图所示。函数图象的画法1直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图
6、象的关键点直接作出。2转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象。3图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出。提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域。(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。 【变式训练】画出下列函数的图象。(1)yelnx；(2)y|log2(x1)|；(3)y|x2|(x1)。解(1)因为函数的定义域为x|x0且yelnxx(x0)，所以其图象如图所示。(2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单
7、位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图所示。(3)当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x22；当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x22。所以y这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)。考点二 识别函数的图象【例2】(2018浙江高考)函数y2|x|sin2x的图象可能是() A BCD解析设f(x)2|x|sin2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(x)2|x|sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函数，故排除A，B；令f(x)0，所以sin2x0，所以2xk(kZ)，所以x(kZ)，故排除C。故选D。答案D1抓
8、住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性。2抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题。 【变式训练】(2019武汉市调研测试)函数f(x)e|x|2x2在2,2上的图象大致为() A B C D解析函数f(x)e|x|2x2在2,2上是偶函数，其图象关于y轴对称。f(2)e28，1e280且a1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是()A.B(1,4)C(1,8)D(8，)解析
9、因为xR，f(x2)f(2x)，所以f(x4)f(2(x2)f(2(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)是一个周期函数，且T4。又因为当x2,0时，f(x)x1()x1，所以当x0,2时，f(x)f(x)()x1，于是x2，2时，f(x)()|x|1，根据f(x)的周期性作出f(x)的图象如图所示。若在区间(2,6)内关于x的方程f(x)loga(x2)0有且只有4个不同的根，则a1且yf(x)与yloga(x2)(a1)的图象在区间(2,6)内有且只有4个不同的交点，因为f(2)f(2)f(6)1，所以对于函数yloga(x2)(a1)，当x6时，loga88，即实数a的取值范围是(8，
10、)。故选D。答案D当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围。 【题点对应练】1(方向1)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，单调递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，单调递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，单调递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，单调递增区间是(，0)解析f(x)画出函数f(x)的图象，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减。故选C。答案C2(方向1)函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的
11、图象如图所示，那么不等式0，在上，ycosx0。由f(x)的图象知，在上，0。因为f(x)为偶函数，ycosx也是偶函数，所以y为偶函数，所以0，排除D；当x(1，)时，f(x)0，排除A，C。故选B。答案B2(配合例3使用)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,2 017)B(1,2 018)C2,2 018D(2,2 018)解析设f(a)f(b)f(c)m，作出函数f(x)的图象与直线ym，如图所示，不妨设abc，当0x1时，函数f(x)的图象与直线ym的交点分别为A，B，由正弦曲线的对称性，可得A(a，m)与B(b，m)关于直
12、线x对称，因此ab1，令log2 017x1，解得x2 017，结合图象可得1c2 017，因此可得2abc2 018，即abc(2,2 018)。故选D。答案D3(配合例4使用)已知函数f(x)若函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k的取值范围是()A(，0) B.C(0，)D(0,1)解析依题意，函数f(x)的图象上存在2对关于原点对称的点，如图，可作出函数yln(x)(x0)的图象，使得它与直线ykx1(x0)的交点个数为2即可，当直线ykx1与ylnx的图象相切时，设切点为(m，lnm)，又ylnx的导数为y，则解得可得切线的斜率为1，结合图象可知k(0,1)时，函数ylnx的图象与直线ykx1有2个交点，即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对。故选D。答案D
