1、第3讲 万有引力 人造卫星 1.内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小 跟这两个物体的质量的乘积成_，跟它们的距离的二次方 _ 2.公式：F=_，其中G为引力常量，G=6.6710-11 Nm2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定 考点1 万有引力定律 正比 成反比 122m mGr3.适用条件：两个_的相互作用（1）质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计 算，其中r为_.（2）一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力 也适用，其中r为_.质点之间 两球心间的距离 质点到球心间的距离 1.解决天体圆周运动问题的两条思路（1）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体的
2、自转运动 时，万有引力等于重力，即 整理得Gm=gR2，称为 黄金代换.（g表示天体表面的重力加速度）（2）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 2m mGmgR，22222m mv4Gmmrmrma.rrT 2.天体质量和密度的计算（1）估算中心天体的质量.从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r，就可以求出中心天体的质量m.从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R，就可以求出中心天体的质量m.（2）估算中心天体的密度.测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由 得 （R0为天体的半径）若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r=R0，则有 2
3、22m m4GmrrT，2 332233004rm3 rm.4GTGT RR3 ，230m3.4GTR3 有一宇宙飞船到了某行星的表面附近（该行星没有自转运动），以速度v接近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力 常量为G，则可得（）A.该行星的半径为 B.该行星的平均密度为 C.无法测出该行星的质量 D.该行星表面的重力加速度为 vT223GT2 vT【解析】选A、B、D.由 可得：A正确；由 可得：C错误；由 得：B正 确；由 得：D正确.2 RTvvTR2，2Gm mR2vm R3v Tm2 G，34mR323GT，2Gm mmgR2 vgT，考点2 人造卫星与宇宙速度 _ _
4、_ 数值(km/s)7.9 宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度)第二宇宙速度(脱离速度)11.2 意义 是人造地球卫星的最小_速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的_速度.使物体挣脱_引力束缚的最小发射速度.第三宇宙速度(逃逸速度)16.7 使物体挣脱_引力束缚的最小发射速度.太阳 地球 最大环绕 发射 1.卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由 可推导出：22222m mv4GmmrmrmarrT 32 32GmvrvGmrrT4rTaGmmaG r 减小减小当 增大时增大减小2.卫星的变轨问题 当卫星由于某种原因速度突然改变时（
5、开启或关闭发动机或空 气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行:（1）当卫星的速度突然增加时，即万有引力不足 以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道 半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 可知其 运行速度比原轨道时减小;22m mvGmrr，Gmvr（2）当卫星的速度突然减小时，即万有引力大于所 需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道 半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 可知其 运行速度比原轨道时增大;卫星的发射和回收就是利用这一原理.22m mvGmrr，Gmvr3.地球同步卫星的特点（1）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.（2）周
6、期一定：与地球自转周期相同，即T24 h86 400 s.（3）角速度一定：与地球自转的角速度相同.（4）高度一定：据 得 =4.23104 km，卫星离地面高度hrR6R（为恒量）.（5）绕行方向一定：与地球自转的方向一致.222m m4GmrrT232Gm Tr44.极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.我国数据中继卫星“天链一号01星”在西昌卫星发射中
7、心发射升空，经过4次变轨控制后，成功定点在东经77赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（）A.运行速度大于7.9 km/s B.离地面高度一定，相对地面静止 C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等【解析】选B、C.由万有引力提供向心力得：即线速度v随轨道半径r的增大而减小，v=7.9 km/s为 第一宇宙速度即围绕地球表面运行的速度；因同步卫星轨道半 径比地球半径大很多，因此其线速度应小于7.9 km/s，故A错；因同步卫星与地球自转同步，即T、相同，故其相对地面静 止，由公式 得 因G、m、R
8、均为定值，故h一定为定值，B对；因同步卫星周期T同=24小时，22m mmvG rr，Gmvr，22Gm mm(Rh)(Rh)32GmhR，月球绕地球转动周期T月30天，即T同月，故C对；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同 的角速度，由公式a向=r2，可得：因轨道半径不 同，故其向心加速度不同，D错误.2T aRhaR同物，天体质量和密度的估算 【例证1】（2011福建高考）“嫦娥二号”是我国月球探测第 二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均 匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为 G，半径为R的球体体积公式 则可估算月球的（）A.密度 B.质量 C.半径
9、D.自转周期 34VR3，【解题指南】解答本题时可按以下思路分析：（1）利用万有引力提供向心力列式.（2）结合隐含条件r=R和球体体积公式联立求解.【自主解答】选A.由万有引力提供向心力有 在月球表面轨道有r=R，由球体体积公式 联立解得月球 的密度 故选A.222m m4GmrrT，34VR323GT，【总结提升】中心天体的质量和密度的估算方法（1）测出中心天体表面的重力加速度g，估算天体质量：进而求得（2）利用环绕天体的轨道半径r、周期T，估算天体质量：即 即 若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r=R，则 2m mGmgR3mm3g.4V4 GRR3 222m m4Gmrr
10、T2 324rGmT 23m3.4GTR3 人造卫星问题的规范求解 【例证2】（2012南宁模拟）（12分）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响.（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.【解题指南】解答本题时应注意理解以下两点：（1）“第一宇宙速度”的含义即轨道半径r与地球半径R相等.（2）地球卫星的周期、线速度、向心加速度均由轨道半径决定.【规范解答】（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M 在地球表面附近满足 （2分）卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 （2分）解得 （2分）2MmG
11、mgR，212vMmGmRR1vRg（2）考虑式，卫星受到的万有引力为 （2分）由牛顿第二定律 （2分）联立式解得 （2分）答案：（1）（2）222MmmgRFG RhRh（）（）224FmRhT（）32RhTRg（）Rg32RhRg（）【总结提升】人造卫星问题的解题技巧（1）利用万有引力提供向心力的不同表述形式：（2）解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律.2m mGma.r2222var4r.rT 卫星的a、v、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化.a、v、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定 卫星变轨问题
12、 【例证3】（2012汕头模拟）北京航天飞行控制中心对“嫦娥一号”卫星实施多次变轨控制并获得成功.首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施.“嫦娥一号”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度.同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨.如图为“嫦娥一号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是（）A.“嫦娥一号”在轨道1的A点处应点火加速 B.“嫦娥一号”在轨道1的A点处的速度比轨道2的A点处的速度大 C.“嫦娥一号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大 D.“嫦娥一号”在轨道1的B
13、点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大【解题指南】解答本题可按以下思路进行分析和判断：（1）要增大卫星的轨道半径时必须加速.（2）卫星的机械能随轨道半径的增大而增大.【自主解答】选A.卫星要由轨道1变轨为轨道2在A处需做离心运 动，应加速使其做圆周运动所需向心力 大于地球所能提供 的万有引力 故A项正确、B项错误；由 可知，卫 星在不同轨道同一点处的加速度大小相等，C项错误；卫星由轨 道1变轨到轨道2，反冲发动机的推力对卫星做正功，卫星的机 械能增加，所以卫星在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点 处的机械能小，D项错误.2vm r2MmG r，2MmGmar【总结提升】卫星变轨时半径的变
14、化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由 判断.对易错选项及错误原因具体分析如下：GMvr易错角度 错误原因 易错选B 误认为在两轨道上的A点处，由 及r2r1得出v1v2，实际上在不同轨道的同一点必须加速或减速才能实现变轨，若要增大轨道半径，必须增大速度.22MmvGmrr易错角度 错误原因 易错选C 错误选用公式，认为两轨道上的A点处由 和r1a2，实际上不同轨道的同一点受力相同，故加速度大小是相同的.2var【例证】两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，地球的质量为M，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：（1）a、
15、b两卫星运行周期之比TaTb是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则a至少经过多少个周期与b相距最远？考查内容 卫星的追及问题 【规范解答】（1）对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式 可得：所以 2n2Mm2FGm()rrT，3rT2GM 33abTT(RR)(R3R)12 2（2）由 可知：ab，即a转动得更快.设经过时间t两卫星相距最远，则由图可得：2T a-b=（2n-1）（n=1，2，3）其中n=1时对应的时间最短.而=t，所以 得 答案：（1）1 （2）2T，ab22tt,TT abaaabaaaT TT 2 2T42tT2(TT)72(2 2TT)2 24271
16、.火星的质量和半径分别约为地球的 和 地球表面的重力加 速度为g地，则火星表面的重力加速度约为（）A.0.2g地 B.0.4g地 C.2.5g地 D.5g地【解析】选B.在星球表面有 故火星表面的重力加速 度与地球表面的重力加速度之比为：故B正确.11012，2MmGmgR，22gM R0.4gM R火火地地地火，2.关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（）A.第一宇宙速度又叫环绕速度 B.第一宇宙速度又叫脱离速度 C.第一宇宙速度跟地球的质量无关 D.第一宇宙速度跟地球的半径无关【解析】选A.第一宇宙速度又叫环绕速度，A对，B错；万有引 力提供向心力，由 可知第一宇宙速度与地球的质量 和
17、半径有关，C、D错.22MmvGmRR3.（2011山东高考）甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道.以下判断正确的是（）A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度 C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方【解析】选A、C.由题意知甲卫星的轨道半径比乙大，由万有引 力提供向心力可得 得出周期和轨道半径的关系 轨道半径越大，卫星周期越长.可得出A选项正确.又由万有引力充当向心力的另一个表达式 可得线速 度和轨道半径的关系 ，轨道半径越大，线速度越小.可得 出B项错误.又由 得 故轨道半径越大，向心 加速
18、度越小.可得出C项正确.地球同步卫星的轨道应在赤道正上 方，不可能经过北极，D项错误.222Mm4GmrrT，3rT2GM，22MmvGmrr2MmGmar，2MaG r，GMvr4.（2012德州模拟）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原地（取地球表面重力加速度g地10 m/s2，阻力不计）（1）求该星球表面附近的重力加速度g；（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星R地14，求该星球的质量与地球质量之比M星M地【解析】（1）设竖直上抛初速度为v0，则 故 2 m/s2.（2）设小球质量为m，则 故 答案：（1）2 m/s2 （2）0g t5tvg22地，1gg5地2GMmmgR，2gRMG，22Mg R111.Mg R51680星星地地地180