1、课时作业25解三角形的应用第一次作业基础巩固练一、选择题1如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的(D)A北偏东10 B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角，前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为(A)A50(1) m B100(1) mC50 m D100 m解析：如图所示，在ABC中，BAC3
2、0，ACB753045，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的宽度为BCsin7510050(1)(m)3为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是(D)A. km2B. km2C. km2D. km2解析：连接AC，根据余弦定理可得AC km，故ABC为直角三角形且ACB90，BAC30，故ADC为等腰三角形，设ADDCx km，根据余弦定理得x2x2x23，即x23(2)，所以所求的面积为13(2)(km2)4已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若abcosCcsinB，且ABC的面积为1，则b的最小值为(A)A2 B3C
3、. D.解析：由abcosCcsinB及正弦定理，得sinAsinBcosCsinCsinB，即sin(BC)sinBcosCsinCsinB，得sinCcosBsinCsinB，又sinC0，所以tanB1.因为B(0，)，所以B.由SABCacsinB1，得ac24.又b2a2c22accosB2acac(2)(42)4，当且仅当ac时等号成立，所以b2，b的最小值为2.故选A.5(2019郑州质量预测)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB2ab，若ABC的面积Sc，则ab的最小值为(C)A28 B36C48 D56解析：在ABC中，2ccosB2ab，由正弦定理
4、，得2sinCcosB2sinAsinB.又A(BC)，所以sinAsin(BC)sin(BC)，所以2sinCcosB2sin(BC)sinB2sinBcosC2cosBsinCsinB，得2sinBcosCsinB0，因为sinB0，所以cosC，又0C，所以C.由ScabsinCab，得c.由余弦定理得，c2a2b22abcosCa2b2ab2abab3ab(当且仅当ab时取等号)，所以()23ab，得ab48，所以ab的最小值为48，故选C.6. (2019山东日照二模)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB1，BC2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为(D)A22B.C.2D.
5、1解析：在ABC中，设ABC，ACB，由余弦定理得：AC21222212cos，ACD为正三角形，CD2AC254cos，SBCD2CDsinCDsinCDcosCDsin，在ABC中，由正弦定理得：，ACsinsin，CDsinsin，(CDcos)2CD2(1sin2)CD2sin254cossin2(2cos)2，BAC，为锐角，CDcos2cos，SBCDCDcosCDsin(2cos)sinsin，当时，(SBCD)max1.二、填空题7如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，
6、则塔高AB等于15.解析：在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.8.如图所示，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足，若DE2，则cosA.解析：ADDB，AABD，BDC2A.设ADBDx，在BCD中，可得.在AED中，可得.联立可得，解得cosA.9在ABC中，已知BC2，2，则ABC面积的最大值是.解析：由，得2()2，设|c，|b，则b2c28，又因为bccosA2，所以cosA，所以sin2A1，设ABC的面积为S，则S2(bc)2sin2A(b2c24)，因为bc4，所以S23
7、，所以S.所以ABC面积的最大值是.10(2019武汉市调研测试)在钝角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a4，b3，则c的取值范围是(1，)(5,7)解析：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得1c7，若C为钝角，则cosC5，若A为钝角，则cosA0，解得0c，结合可得c的取值范围是(1，)(5,7)三、解答题11(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB0，sinC，C为锐角，C60.(2)由C
8、60及2，可得c.由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)，SabsinC3，ABC的面积S的最大值为.第二次作业高考模拟解答题体验1(2018北京卷)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高解：(1)在ABC中，因为cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由题设知B，所以0A.所以A.(2)在ABC中，因为sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC边上的高为asinC7.2(2019益阳湘潭调研考试)已知锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)求函数ysinAsinB的值域解：(1)
9、由，利用正弦定理可得2sinAcosCsinBcosCsinCcosB，可化为2sinAcosCsin(CB)sinA，sinA0，cosC，C(0，)，C.(2)ysinAsinBsinAsin(A)sinAcosAsinAsin(A)，AB，0A，0B，A，A，sin(A)(，1，y(，3已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2Bcos2Csin2AsinAsinB，sin(AB)cos(AB)(1)求角A，B，C；(2)若a，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积解：(1)cos2Bcos2Csin2AsinAsinB，sin2CsinAsinB
10、sin2Asin2B，由正弦定理得c2aba2b2，cosC，0C，C.sin(AB)cos(AB)，sinAcosBcosAsinBcosAcosBsinAsinB，sinA(sinBcosB)cosA(sinBcosB)，sinAcosA，由A为锐角，可得A，BAC.(2)a，A，B，由正弦定理可得b，三角形ABC的面积SabsinC.4(2019武汉市调研测试)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos2Acos2B2cos(B)cos(B)0.(1)求角A的值；(2)若b且ba，求a的取值范围解：(1)由cos2Acos2B2cos(B)cos(B)0，得2sin
11、2B2sin2A2(cos2Bsin2B)0，化简得sinA，又ABC为锐角三角形，故A.(2)ba，ca，C，B，sinB.由正弦定理，得，a，由sinB(，得a，3)5.如图所示，在ABC中，C，48，点D在BC边上，且AD5，cosADB.(1)求AC，CD的长；(2)求cosBAD的值解：(1)在ABD中，cosADB，sinADB.sinCADsin(ADBACD)sinADBcoscosADBsin.在ADC中，由正弦定理得，即，解得AC8，CD.(2)48，8CB48，解得CB6，BDCBCD5.在ABC中，AB2.在ABD中，cosBAD.6在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2c2a2bc.(1)求角A的大小；(2)若a，求BC边上的中线AM的最大值解：(1)b2c2a2bc，cosA.又0A，A.(2)在ABC中，A，a，由余弦定理a2b2c22bccosA得b2c2bc3.则b2c2bc32bc，得bc3(当且仅当bc时取等号)在ABC中，由余弦定理，得cosB.在ABM中，由余弦定理，得AM2AB2BM22ABBMcosBc22ca，AM.AM的最大值是.