1、1.2.2空间中的平行关系(4)平面与平面平行自主学习 学习目标1掌握两平面平行的定义、图形的画法以及符号表示2理解两平面平行的判定定理及性质定理，并能应用定理证明线线、线面、面面的平行关系 自学导引1两个平面平行的定义：_.2平面与平面平行的判定定理：_.图形表示： 符号表示：_.推论：如果一个平面内有两条_分别平行于另一个平面内的_，则这两个平面平行3平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么_符号表示：若平面、满足_，则ab.上述定理说明，可以由平面与平面平行，得出直线与直线平行对点讲练知识点一平面与平面平行的判定例1已知E、F、E1、F1分别是三棱柱A1B1C1
2、ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中点求证：平面A1EF平面E1BCF1.点评要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可另外在证明线线、线面以及面面平行时，常进行如下转化：线线平行线面平行面面平行变式训练1正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点求证：平面AMN平面EFDB.知识点二用面面平行的性质定理证线面平行与线线平行例2已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥PABCD棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：(1)MN平面PAD；(2)MNPE.点评该题充分体现了
3、线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化关系一般来说，证线面平行时，若用线面平行的判定定理较困难，改用面面平行的性质是一个较好的想法变式训练2如图所示，正方体ABCDABCD中，点E在AB上，点F在BD上，且BEBF.求证：EF平面BBCC.知识点三综合应用例3如图所示，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21.那么，在棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？证明你的结论点评解答开放性问题，要结合题目本身的特点与相应的定理，大胆地猜想，然后证明变式训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C
4、1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1.1在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2注意两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面. 课时作业一、选择题1设平面平面，直线a，点B，则在内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在惟一一条与a平
5、行的直线2对于直线m、n和平面，下列命题中是真命题的是()A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，n，m、n共面，那么mn3设m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1 Bml1且nl2Cm且n Dm且nl24设，A，B，C是AB的中点，当A、B分别在平面、内运动时，那么所有的动点C()A不共面B当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论A、B如何移动，都共面5已知平面外不共线的三点A，B
6、，C到 的距离都相等，则正确的结论是()A平面ABC必平行于B平面ABC必与相交C平面ABC必不垂直于D存在ABC的一条中位线平行于或在内题号12345答案二、填空题6下面的命题在“_”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m，n为直线，为平面)，则此条件应为_7平面平面，ABC和ABC分别在平面和平面内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形_8下列命题正确的是_(填序号)一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有两条相交直线都与另外一个
7、平面平行，则这两个平面平行三、解答题9已知两条异面直线BA、DC与两平行平面、分别交于B、A和D、C，M、N分别是AB、CD的中点求证：MN平面.10.如图所示E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.【答案解析】自学导引1没有公共点的两个平面2如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行a，b，abP，a，b相交直线两条直线3它们的交线平行，a，b对点讲练例1证明EF是ABC的中位线，EFBC.EF平面E1BCF1，BC平面E1BCF1，EF平面E1BCF1
8、.A1E1EB，四边形EBE1A1是平行四边形，A1EE1B.A1E平面E1BCF1，E1B平面E1BCF1，A1E平面E1BCF1.又A1EEFE，平面A1EF平面E1BCF1.变式训练1证明如图，连接A1C1，AC.设A1C1分别交MN、EF于P、Q，AC交BD于O.连接AP，OQ，B1D1.在矩形A1ACC1中，PQAO，M、N、E、F分别是所在棱的中点，MND1B1，EFD1B1，P、Q分别是四等分点，PQAC，又AOAC，PQAO.四边形PQOA为平行四边形，APOQ.AP平面EFDB.又MNB1D1，EFB1D1，EFMN，MN平面EFDB，平面AMN平面EFDB.例2证明(1)取
9、DC中点Q，连接MQ、NQ.NQ是PDC的中位线，NQPD.NQ平面PAD，PD平面PAD，NQ平面PAD.M是AB中点，ABCD是平行四边形，MQAD，MQ平面PAD，AD平面PAD.从而MQ平面PAD.MQNQQ，平面MNQ平面PAD.MN平面MNQ，MN平面PAD.(2)平面MNQ平面PAD，平面PEC平面MNQMN，平面PEC平面PADPE.MNPE.变式训练2证明方法一连接AF延长交BC于M，连接BM.ADBC，AFDMFB，.又BDBA，BEBF，DFAE.EFBM，又BM平面BBCC，EF面BBCC，EF平面BBCC.方法二作FHAD交AB于H，连接HE.ADBC，FHBC，又B
10、C平面BBCC，FH平面BBCC，FH平面BBCC.由FHAD，可得，又BFBE，BDAB，EHBB，BB平面BBCC，EH面BBCC，EH平面BBCC，又EHFHH，平面FHE平面BBCC，EF平面FHE，EF平面BBCC.例3解如图所示，当F是棱PC的中点时，BF平面AEC，证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FMCE.由EMPEED知，E是MD的中点，连接BM、BD，设BDACO，则O为BD的中点，所以BMOE.又BMFMM，由可得，平面BFM平面AEC.又BF平面BFM，所以BF平面AEC.变式训练3M线段FH解析HNBD，HFDD1，HNHFH，BDDD1D，平面NHF平面B1BD
11、D1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN平面B1BDD1.课时作业1D直线a与B可确定一个平面，B，与有一条公共直线b.由线面平行的性质定理知ba，所以存在性成立因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，所以b惟一2C若m，n，m，n是异面直线，如图(1)所示，此时n与相交，故A不正确B项若m，n，m，n是异面直线，如图(2)所示，此时m与n为异面直线，而n与平行，故B不正确D项如果m，n，m，n共面，如图(3)所示，m与n可能相交，故D不正确3B如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB面A1B1CD，CD面A1B1BA，但面A1B1CD与面A1B1BA相交，故A不正确；取AD中点为
12、E，BC中点为F，则EF面ABB1A1，C1D1面ABB1A1，但面ABB1A1与面EFC1D1不平行，故C不对；虽然EFAB且C1D1面A1B1BA，但是面EFC1D1与面A1B1BA不平行，故D不正确对于选项B，当l1m，l2n且m，n时，有l1，l2.又l1与l2相交且都在内，而时，无法推出ml1且nl2.l1m且l2n是的充分不必要条件4D如图所示，A、B分别是A、B两点在、上运动后的两点，此时AB中点变成AB中点C，连接AB，取AB中点E.连接CE、CE.则CEAA，CE.CEBB，CE.又，CE.CECEE.平面CCE平面.CC.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与、
13、平行的平面上5DA，B，C在平面的异侧时，A错；而A，B，C在平面同侧时，B错；A，B，C在平面的异侧时，平面ABC有可能垂直于平面，C错6m，n相交7相似解析由于对应顶点的连线共点，则AB与AB共面，由面与面平行的性质知ABAB，同理ACAC，BCBC，故两个三角形相似89.证明过A作AECD交于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.AECD，AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDCDE，平面AEDCAC，ACDE.又P、N分别为AE、CD的中点，PNDE.PN，DE，PN.又M、P分别为AB、AE的中点，MPBE，且MP，BE，MP，又MPPNP，平面MPN.又MN平面MPN，MN.10证明(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OGB1C1，且OGB1C1，BEB1C1，且BEB1C1，OGBE且OGBE，四边形BEGO为平行四边形OBGE.OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，GE平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.连接HB，D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF，B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.