1、圆的有关性质一、知识点1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形如图所示的圆记做O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦
2、的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： 弧AC=弧BC;弧AD=弧BD；AE=BE;ABCD;CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ( 2 )推论： 在
3、同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，A=C. 直径所对的圆周角是直角.如图c,C=90. 圆内接四边形的对角互补.如图a，A+C=180，ABC+ADC=180.二、标准例题：例1：如图，的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，则弦的长为（）ABCD【答案】C【解析】解：如图：过点O作OHAB于点H，连接OA，在RtOHP中，P=30，OP=4，在RtOAH中，OA=3，故选总结：本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.例2：如图，CD是O的直径，弦ABCD，连接OA，OB，BD，若AOB100，则ABD _度。【答
4、案】25【解析】解：CD是O的直径，弦ABCD，AOD=BOD=AOB=50，ABD=AOD=25总结：本题考查了垂径定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半例3：已知：如图，O的两条半径OAOB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F求证：CDAEBF【答案】见解析【解析】连接AC、BD，OAOB，AOB=90，OA=OB，OAB=OBA=45，C，D是的三等分点，AC=CD=BD，AOC=COD=DOB=30，AOC=COD，OA=OC=OD，AOCCOD，ACO=OCD，OEFOAE+AOE45+3075，OCD=75，
5、OEFOCD，CDAB，AECOCD，ACOAEC故ACAE，同理，BFBD又ACCDBDCDAEBF总结：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等例4：如图，是半圆的直径，为弦，为弧的中点，于点，交于点，交于点.求证：.【答案】见解析.【解析】为弧的中点，B=CAF，是半圆的直径，.，.是的中点，.，.总结：本题考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质.三、练习1.在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）A这两条弦所对
6、的弦心距相等B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦所对的弧相等D这两条弦都被垂直于弦的半径平分【答案】D【解析】A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；故选D.2如图，BD是O的直径，圆周角A = 30，则CBD的度数是（）A30B45C60D80【答案】C【解析】解：如图，连接CD，BD为O的直径，BCD=90，D=A=30，CBD=90-D=60故选：C3已知O的半径为5
7、，点O到弦AB的距离为3，则O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】解：如图OD=OA=OB=5，OEAB，OE=3，DE=OD-OE=5-3=2cm，点D是圆上到AB距离为2cm的点，OE=3cm2cm，在OD上截取OH=1cm，过点H作GFAB，交圆于点G，F两点，则有HEAB，HE=OE-OH=2cm，即GF到AB的距离为2cm，点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点，故选：C4把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（）A2B2.5C3D4【答案】B【解析】如图：EF的中点M，作MNAD于点M，取MN上的球
8、心O，连接OF，四边形ABCD是矩形，C=D=90，四边形CDMN是矩形，MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选：B5如图，AB是O的直径，C是O上一点（A、B除外），AOD136，则C的度数是（）A44B22C46D36【答案】B【解析】AOD136，BOD44，C22，故选：B6如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（）ABCD【答案】B【解析】解：，故选：B.7如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯
9、锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”用几何语言可表述为：CD为O的直径，弦ABCD于E，CE1寸，AB10寸，则直径CD的长为（）A12.5寸B13寸C25寸D26寸【答案】D【解析】解：设直径CD的长为2x，则半径OCx，CD为O的直径，弦ABCD于E，AB10寸，AEBEAB105寸，连接OA，则OAx寸，根据勾股定理得x252+（x1）2，解得x13，CD2x21326（寸）故选：D8如图，是上的点，则图中与相等的角是（）ABCD【答案】D【解析】解：与都是所对的圆周角，故选：D9若的一条弦长为24，弦心距为5，则的直径长为_【答案】26【解析】解:根据题意画出相应的图形,如图所示,OC
10、ABAC=BC= AB=12在 RtAOC中,AC=12 OC=5, ,根据勾股定理得: AO= ,则圆 O的直径长为26 .故答案为:2610如图，在中，直径，弦于，若，则_【答案】【解析】由圆周角定理得，COB=2A=60，CE=OCsinCOE=2=，AECD，CD=2CE=2，故答案为：2.11如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，则_【答案】1【解析】解：AB为直径，故答案为112如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是_cm.【答案】5【解析】解：如图，设圆
11、心为O，弦为AB，切点为C如图所示则AB=8cm，CD=2cm连接OC，交AB于D点连接OA尺的对边平行，光盘与外边缘相切，OCABAD=4cm设半径为Rcm，则R2=42+（R-2）2，解得R=5，该光盘的半径是5cm故答案为：513如图，是圆的弦，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_【答案】【解析】解：解：连接OA，设半径为x，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，解得，故答案为：14足球训练场上，教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练.如图，甲、乙两名运动员分别在，两处，他们争论不休，都说自己所在的位置对球门的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门的张角大？为什么？【答案】一样大，理由见解析.【解析】解：甲、乙两个人所在的位置对球门AB的张角一样大.根据圆周角定理的推论可得ADB=ACB.15如图，在ABC中，ABAC，AC是O的弦，BC交O于点D，作BAC的外角平分线AE交O于点E，连接DE求证：DEAB【答案】见解析.【解析】ABAC，BC，AE平分FAC，FAEB，AEBC，四边形ABDE是平行四边形，DEAB16如图，ABC的三个顶点都在O上，AD为O的直径，AEBC于点E，交O于点F求证：