1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算2019考纲考题考情1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四
2、边形法则(1)交换律：abba。(2)结合律：(ab)ca(bc)。减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba。1若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()。2.(，为实数)，若点A，B，C共线，则1。3解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。要特别注
3、意零向量的特殊性。 一、走进教材1(必修4P86例4改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则_，_。(用a，b表示)解析如图，ba，ab。答案baab2(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD的形状为_。解析如图，因为，所以|。由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形。答案矩形二、走近高考3(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A BC D解析如图所示，()()，故选A。解析：()，故选A。答案A4(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_。解析因为ab
4、与a2b平行，所以存在唯一实数t，使得abt(a2b)，所以解得t。答案三、走出误区微提醒：对向量共线定理认识不准确；向量线性运算不熟致错；向量三角不等式认识不清致错。5对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析若ab0，则ab，所以ab。若ab，则ab0不一定成立。故前者是后者的充分不必要条件。答案A6如图，已知，用，表示，则等于()A BC D解析()。故选C。答案C7已知向量a，b，若|a|2，|b|4，则|ab|的取值范围为_。解析当a与b方向相同时，|ab|2，当a与b方向相反时，|ab|6，当a与b不共线时
5、，2|ab|0时，a与b同向；(2)当0，n0)，则m2n的最小值为()A3B4 CD解析因为2，所以2()，所以，又因为m，n，所以。因为M，P，N三点共线，所以1，所以m2n(m2n)2 3，当且仅当即mn1时等号成立。所以m2n的最小值为3。故选A。答案A1(配合例2使用)已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则ABC的面积等于()AB2 C3D4解析由|得，PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PDBC，又0，所以()2，所以PDAB1，且PDAB，故ABBC，即ABC是直角三角形，由|2，PD1可得|，则|2，所以ABC的面积为222。故选B。答案B2(配合例3使用)如图所示，B
6、AC，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD1，点P是圆M内任意一点(含边界)，且xy(x，yR)，则xy的取值范围为()A1,42 B42，42C1,22 D2，2解析连接AM并延长，线段AM及其延长线分别交圆M于Q，T两点，连接DE，与AM交于点R，显然，此时xy1。由于ADAE1，BAC，所以AM2，DM。因为点P是圆M内任意一点(含边界)，所以2AP2，且当A，P，M三点共线时xy取得最值。当P位于Q点时，AQ2，AR，则(42)(2)(2)，此时xy取得最小值42；同理可得，当点P位于T点时，(2)(2)，此时xy取得最大值42。故选B。答案B3(配合例4使用)已知O为ABC内一点
7、，且()，t，若B，O，D三点共线，则t()A BC D解析设E是BC边的中点，则()。由题意得，所以()，又因为B，O，D三点共线，所以1，解得t。故选B。答案B共线定理的推广共线定理：已知，为平面内两个不共线的向量，设xy，则A，B，C三点共线的充要条件为xy1。推广形式：如图所示，直线DEAB，C为直线DE上任一点，设xy(x，yR)。当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若(，R)，则1。由PAB与PED相似，知必存在一个常数mR，使得m，则mmm。又xy(x，yR)，所以xymmm。以上过程可逆。因此得到结论：xy，则xy
8、m(定值)，反之亦成立。【典例1】如图，在正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点，设(，R)，则的取值范围是_。【解析】当P在CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以3,4。【答案】3,4【典例2】如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_。【解析】由点D是圆O外的一点，可设(1)，则(1)。因为C、O、D三点共线，令(1)。所以(1，1)。因为mn，所以m，n，所以mn(1,0)。【答案】(1,0)【变式训练】如图，在扇形OAB中，AOB，C为弧AB上的动点，若xy，则x3y的取值范围是_。解析x3y，如图，作，则考虑以向量，为基底。显然，当C在A点时，经过m1的平行线，当C在B点时，经过m3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x3y的取值范围是1,3。答案1,3