1、专项训练双物体机械能守恒定律利用机械能守恒定律解题时，经常会遇到多个物体通过直接接触、轻绳连接、轻杆连接、弹簧连接等相关联的运动情况解决这些问题时应选取合适的研究对象，判断物体系统的机械能是否守恒，采用机械能守恒定律，列方程求解一、基本题型及分析如图所示的A、B两物体，质量分别为M、m，其中Mm，用一根轻绳连接，跨过光滑的不计质量的定滑轮，开始用手托住A，在下落的过程中，A、B及绳组成的系统机械能守恒，原因：A、B两物体所受的重力做功，绳子的拉力为内力，滑轮对系统的支持力的作用点没有位移，只有重力做功，故系统的机械能守恒【例1】如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一
2、小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为()AhB1.5hC2h D2.5h【解析】在b落地前，a、b组成的系统机械能守恒，且a、b两物体速度大小相等，根据机械能守恒定律，可知3mghmgh(m3m)v2，所以v；b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，过程中机械能守恒，mv2mgh，解得h0.5h，所以a可能达到的最大高度为1.5h，B项正确【答案】B变形【例2】(2012福建)如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)初始时刻
3、，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态剪断轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块()A速率的变化量不同B机械能的变化量不同C重力势能的变化量相同D重力做功的平均功率相同【分析】剪断轻绳后A自由下落，B沿斜面下滑，A、B都只有重力做功，机械能守恒，重力势能变化量等于重力所做的功，重力做功的平均功率等于重力做功与时间的比值【解析】设斜面倾角为，刚开始A、B处于静止状态，所以mBgsinmAg，所以mBmA, A项，剪断轻绳后A自由下落，B沿斜面下滑，A、B都只有重力做功，根据动能定理，得mv2mgh，v，所以速度的变化量为v0，故A项错误；B项，A、B都只有重力做功，机械能守恒
4、，故B项错误；C项，重力势能变化量Epmgh，由于A、B的质量不相等，所以重力势能变化不相同，故C项错误；D项，A运动的时间为t1，所以A重力做功的平均功率为A，B运动有：gsint，解得t2，所以B重力做功的平均功率为B，而mBgsinmAg，所以重力做功的平均功率相等，故D项正确【答案】D变形【例3】(2012上海)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高将A由静止释放，B上升的最大高度是()A2R B5R/3C4R/3 D2R/3【解析】设B的质量为m，则A的质量为2m，以A、B组
5、成的系统为研究对象，在A落地前，由动能定理，可得mgR2mgR(m2m)v20，以B为研究对象，在B上升过程中，由动能定理，可得mg h0mv2，则B上升的最大高度HRh，解得H.故选C项【答案】C【例4】如图所示是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系物体A、B，且mA2mB，从图示位置由静止开始释放A物体，当物体B到达半圆顶点时，求绳的张力对物体B所做的功【解析】物体B到达半圆顶点时，系统势能的减少量为EpmAg mBgR系统动能的增加量为Ek(mAmB)v2由EpEk，得v2(1)gR对B由动能定理，得WmBgRmBv2绳的张力对物体B做的功WmBv2mBgR
6、mBgR【答案】mBgR变形：铁链问题(见第3单元机械能守恒定律“铁链问题”)二、双物体连杆的分析【例5】如图所示，长为L的轻杆，一端装有固定光滑的转动轴O，另一端及中点固定着质量相同的A球和B球将轻杆从水平位置由静止释放，当轻杆摆至竖直位置时，A、B两球的速度大小各是多少？【解析】对A、B及杆整体受力分析可知，除重力外、还有轴对系统的支持力，支持力不做功、只有重力做功，因此A、B组成系统的机械能守恒令轴正下方L处为零势面，选A、B处于水平状态为初态，B至最低点为末态则有mgLmgLmvmvmg，由圆周运动知识，可知vB2vA，联立以上两式，可得vA，vB2【答案】vA，vB2【学法指导】双物
7、体机械能守恒，但对单个物体而言机械能不守恒，可以计算出A的机械能减小，B的机械能增加双物体机械能守恒的实例还有：轻杆两端固定两物体，绕与垂直轻杆的某一光滑轴转动过程中，两物体及轻杆组成系统机械能守恒；两不等质量的物体，通过轻绳跨过悬挂在天花板上的定滑轮两物体及轻绳组成系统在运动过程中机械能守恒等等其守恒条件的分析如上例变形【例6】如图所示，在两个质量分别为m、2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接(杆的质量可不计)，两小球可绕着轻杆中心O的水平轴无摩擦转动现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重球b向下运动，轻球a向上运动，产生转动，在杆转至竖直的过程中()Ab球的重力势能减小，机械能
8、增大Ba球的重力势能增大，动能增大Ca球和b球的总机械能守恒Da球和b球的总机械能不守恒【解析】a球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B项正确由于a球、b球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C项正确，D项错误，所以b球和地球组成系统的机械能一定减少，A项错误【答案】BC变形【例7】如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是()AA球到达最低点时速度为零BA球机械能减
9、少量等于B球机械能增加量CB球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度D当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度【解析】因A处小球质量大，且A处的位置高，图示中三角形框架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动，摆动过程只有小球受的重力做功，势能转化成动能，系统的机械能守恒，选项B、D正确设支架的边长为L，若以初始状态B球所在平面为零势面，则总的机械能为mgL，当A球在最低点时B球的势能为mg，另外mg的能量为A、B球所共有的动能，因此B球还要继续上升但在整个过程中系统机械能守恒，则A球机械能减少量等于B球机械能增加量，故B、C、D项均正确【答案】BCD三、绳杆连接的双物体机械能守
10、恒【例8】如图所示，光滑固定的竖直杆上套有一个质量m0.4 kg的小物块A，不可伸长的轻质细绳通过固定在墙壁上大小可忽略的定滑轮D连接小物块A和小物块B.虚线CD水平，间距d1.2 m，此时连接小物块A的细绳与竖直杆的夹角为37，小物块A恰能保持静止现在在小物块B的下端挂一个小物块Q(未画出)，小物块A可从图示位置上升并恰好能到达C处不计摩擦和空气阻力，cos 370.8、sin 370.6，重力加速度g取10 m/s2.求：(1)小物块A到达C处时的加速度大小；(2)小物块B的质量；(3)小物块Q的质量【解析】(1)当A物块到达C处时，由受力分析，可知水平方向受力平衡，竖直方向只受重力作用，
11、所以A物块的加速度ag10 m/s2(2)B物体受重力和拉力而平衡，故拉力等于其重力；物体A受重力、拉力和杆的支持力，如图所示设B物块的质量为M，绳子拉力为T；根据平衡条件，得Tcos37mg，TMg，联立解得M0.5 kg(3)设Q物块的质量为mQ，根据系统机械能守恒，得mghAC(MmQ)ghBhACdcot371.6 m，hBd0.8 m，解之，得mQ0.3 kg【答案】(1)10 m/s2(2)0.5 kg(3)0.3 kg变形【例9】一个半径R为0.6 m的光滑半圆细环竖直放置并固定在水平桌面上，O为圆心，A为半圆环左边最低点，C为半圆环最高点环上套有一个质量为1 kg的小球甲，甲可
12、以沿着细环轨道在竖直平面内做圆周运动在水平桌面上方固定了B、D两个定滑轮，定滑轮的大小不计，与半圆环在同一竖直平面内，它们距离桌面的高度均为h0.8 m，滑轮B恰好在O点的正上方，现通过两个定滑轮用一根不可以伸长的细线将小球甲与一个质量为2 kg的物体乙连在一起，一开始，用手托住物体乙，使小球甲处于A点，细线伸直，当乙由静止释放后求：(1)甲运动到C点时的速度大小(2)甲、乙速度相等时，甲距离水平桌面的高度(3)甲、乙速度相等时，它们的速度大小(结果可以用根式表示)【分析】(1)甲运动到C点时，乙的速度为零，对系统运用动能定理求出甲运动到C点时的速度大小(2)当连接甲球的细线与圆环相切时，甲、
13、乙速度相等，根据几何关系求解甲距离水平桌面的高度，对系统运用动能定理或机械能守恒定律求出甲、乙速度相等时的速度大小【解析】(1)根据几何关系，得LAB m1 m甲运动到C点时，甲的速度方向水平向右，所以乙的速度为零，对系统运用动能定理，得m乙g(LABLBC)m甲gRm甲v，解得v甲 m/s4.47 m/s(2)当连接甲球的细线与圆环相切时，甲、乙速度相等，此时甲球到达A点，离开桌面的距离为d，根据几何关系，得LBA m0.53 m解得d m0.45 m(3)由机械能守恒，可得m乙g(LABLBA)m甲gd(m甲m乙)v解得v甲 m/s1.81 m/s【答案】(1)4.47 m/s(2)0.4
14、5 m(3)1.81 m/s四、多物体机械能守恒【例10】如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上，一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小(1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧30的位置上(如图)，在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量Mm的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M，设绳子与大、小圆环间摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离(2)若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态？【解析】
15、(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大，设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得Mgh2mgRsin，解得hR(另解h0舍去)(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为：两小环同时位于大圆环的底端；两小环同时位于大圆环的顶端；两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端；除上述这三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧角的位置上(如图所示)对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有Tmg.对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N，两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反TsinTsin，得，而90，所以45.【答案】(1)R(2)可能位置为：两小环同时位于大圆环的底端；两小环同时位于大圆环的顶端；两个环一个位于大圆环顶端另一个位于大圆环的底端；两小圆环关于大圆环竖直对称轴对称，且在对称轴两侧夹角45的位置上【名师点拨】近些年的高考题，很多题目都是以前的一些老题目略作改编形成的如本例所述三物体机械能守恒，只是将常见的两个定滑轮换成小圆环，且小圆环又放在大圆环这样一个新情境中，其他求解问题都是我们常练的习题由此可见，要重视常规习题的练习，提高应试的技能