1、第二课时直线与圆的位置关系的应用新课程标准解读核心素养1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题数学建模2.会用“数形结合”的数学思想解决问题直观想象有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m.问题当水面下降1 m后，水面宽多少米？知识点用坐标法解决几何问题用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：利用坐标法求解几何问题要注意什么？提示：(1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先
2、建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素；(2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|12米，拱高|CD|4米，则拱桥的直径为()A15米B13米C3米 D6.5米解析：选B如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2|OD|2|BD|2，即r2(r4)262，解得r，所以拱桥的直径为13米直线与圆的方程的实际应用例1一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北3
3、0 km处如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？解以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0，3)，轮船所在位置的坐标为(4，0)这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2y24；轮船航线所在直线l的方程为1，即3x4y120.联立直线l与圆O的方程，得消去y，得25x272x800.由(72)2425800)，连接EA，EC，AC，则|EA|EC|5.因为|AC|5，所以AEC90.故所求的面积为S梯形AODCS弓形ABCS梯形AODC(S扇形EACSACE)52523352.6(m2
4、)所以绿地的面积约为52.6 m2.直线与圆的方程在几何问题中的应用例2在ABO中，|OB|3，|OA|4，|AB|5，P是ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值解以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)设AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，则2r|AB|OA|OB|，r1.内切圆的方程为(x1)2(y1)21，即x2y22y2x1.又|PA|2|PB|2|PO|2(x4)2y2x2(y3)2x2y23x23y28x6y25，将代入，得|PA
5、|2|PB|2|PO|23(2x1)8x252x22.P(x，y)是内切圆上的点，0x2，|PA|2|PB|2|PO|2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为2(|PA|2|PB|2|PO|2)，以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为，最小值为.坐标法建立直角坐标系应坚持的原则(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；(2)充分利用图形的对称性；(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称；(4)关键点的坐标易于求得 跟踪训练如图，直角ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP
6、|2|AQ|2|PQ|2为定值证明：如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(m，0)，C(m，0)，P(n，0)，Q(n，0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上，故|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值).与圆有关的最值问题例3已知实数x，y满足方程(x2)2y23，求的最大值和最小值解原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆，设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.母题探究(变设问)若本例中的条件不变，求yx的最大值和最小值解
7、：设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题 1一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A1.4 mB3.5 mC3.6 m D2.0 m解析：
8、选B如图，圆半径|OA|3.6，卡车宽1.6，所以|AB|0.8，所以弦心距|OB|3.5(m)，即为所求2据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响从现在起经过约_ h，台风将影响A城，持续时间约为_h(结果精确到0.1 h)解析：以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，则台风中心的移动轨迹方程是yx，受台风影响的区域边界的曲线方程是(xa)2(ya)22502，A(300，0)依题意有(300a)2a22502，解得15025a15025，t12.0，t6.6，从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.答案：2.06.63设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路所在直线方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_解析：圆心(2，3)到直线xy20距离为，则从村庄外围到小路的最短距离为2.答案：2