1、昌吉州2021-2022学年高二上学期期中质量检测数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(共60分)1(本题5分)袋内分别有红白黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A至少有一个白球；都是白球B至少有一个白球；至少有一个红球C恰有一个白球；一个白球一个黑球D至少有一个白球；红黑球各一个2(本题5分)如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为 () A B C D无法计算3(本题5分)命题“
2、xR，x2x+10”的否定是（ ）AxR，x2x+10Bx0R，x02x0+10Cx0R，x02x0+10Dx0R，x02x0+104(本题5分)“”是“方程表示椭圆”的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5(本题5分)点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是A BC D6(本题5分)已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为ABCD7(本题5分)下列说法正确的是（ ）A“若ab4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题B命题“设a，bR，若ab6，则a3或b3”是一个真命题C“x0R，”的否定是“xR，x2x0”D“”是“”的一个充分不必要条件8
3、(本题5分)某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是（ ）ABCD9(本题5分)已知命题，命题，则是成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件10(本题5分)已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是AB或CD以上均不正确11(本题5分)设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.ABCD12(本题5分)已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为
4、（ ）ABCD第II卷（非选择题）二、填空题(共20分)13(本题5分)已知焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则m的值为_14(本题5分)从标有，的五张卡中，依次抽出张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为_；15(本题5分)命题p：（xm）23（xm）是命题q：x2+3x40成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_.16(本题5分)已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2x轴，则椭圆的离心率是_.三、解答题(共70分)17(本题10分)如图在墙上挂着一块边长为的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆
5、，半径分别为，某人站在处向此木板投镖，设击中线上或没有投中木板时都不算，可重新投一次.问：（1）投中大圆内的概率是多少？ （2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3）投中大圆且未投中小圆的概率是多少？18(本题12分)已知命题p：，命题(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；(2)若pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围19(本题12分) 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数；(3)从成绩在50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在60,70)中的概率20(本
6、题12分)线段的长等于3，两端点分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.求曲线的方程.21(本题12分)已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.22(本题12分)已知椭圆的右焦点为，且经过点.（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点.参考答案1D【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【详解】解：对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是
7、白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“至少一个白球”发生时，“红黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，故选：D【点睛】此题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题.2C【分析】求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积.【详解】设阴影区域的面积为，所以.故选C.【点睛】本题考查几何概型的应用，属基础题.3B【分析】根据全称命题的否定是特称命题,对原命题进行否定可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称
8、命题，则命题的否定是：x0R，x02x0+10故选：B.【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.4C【分析】先求得方程表示椭圆的m的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.【详解】方程表示椭圆，即且所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件故选C【点睛】本题考查了椭圆的概念与简易逻辑用语，易错点为椭圆中，属于较为基础题.5A【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹
9、方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.本题就是利用方法求的轨迹方程的.6D【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.7B【
10、分析】举反例判断A错误；通过逆否命题的真假可判断原命题的真假；“x0R，”的否定是“xR，”，C错误；“”是“”的一个必要不充分条件，D错误.【详解】对于A，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则ab4”，而a4，b4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时ab0，故A不正确；对于B，此命题的逆否命题为“设a，bR，若a3且b3，则ab6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故B正确；对于C，“x0R，”的否定是“xR，”，故C不正确；对于D，由可推得，但由不能推出，故D错误.故选：B【点睛】本题考查四个命题之间的基本关系及其真假判断、必要不充分条件的判断、命题的否定，属于基础题.8D
11、【分析】列举法求得选物理和历史的所有种数，再利用古典概型求解【详解】在2（物理，历史）选（化学、生物、地理、政治）选2中，选物理的有6种，分别为：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同时，选历史的也有6种，共计12种，其中选择全理科的有1种，某考生选择全理科的概率是.故选：D9B【分析】根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断【详解】由可得，或由可得，.所以是成立的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握绝对值不等式，对数不等式的解法是解题关键命题对应集合，命题对应集合，是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件10A【分析】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程
12、为mx2+ny2=1（m0，n0，mn），利用待定系数法能求出椭圆方程【详解】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m0，n0，mn），代入A、B得， ，解得 ，所求椭圆方程为+x2=1故选A【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用11C【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲
13、线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.12D【解析】分析： 由得椭圆的短轴长为，可得，可得，从而可得结果.详解：由得椭圆的短轴长为，解得，设，则，即， ，故选D.点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.【分析】由条件可得，然后可求出答案.【详解】因为焦点在x轴上的椭圆的焦距为，所以所以故答案为：14【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则
14、P（A），P（AB），利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A），P（AB），则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力15m1或m7【分析】先求出命题p和命题q中不等式的解，再根据必要不充分条件列不等式求解.【详解】解：由x2+3x40得4x1，由（xm）23（xm）得（xm3）（xm）0，即xm+3或xm，若p是q的必要不充分条件，则1m
15、或m+34，即m1或m7，故答案为：m1或m7.【点睛】本题考查二次不等式的求解，考查充分性，必要性的应用，是中档题.16【分析】由几何关系可得为，结合相似三角形可得的比例关系，联立焦点三角形公式即可求解【详解】由题可知，故，因为过F1的直线和圆相切，所以，又PF2x轴，故，即，设则，椭圆离心率故答案为：17（1）；（2）；（3）.【分析】由镖投在板上任何位置的可能性相等，求出面积之比即可.【详解】镖投在板上任何位置的可能性相等，故概率与面积应成正比，设所求概率，于是有：（1）；（2）；（3）.18(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，分类讨论a是否为0；再根据开口及判别式即可求得a
16、的取值范围（2）根据复合命题的真假关系，得出p,q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解可得范围.【详解】根据复合命题真假，讨论p真q假，p假q真两种情况下a的取值范围（1）命题是真命题时，在范围内恒成立，当时，有恒成立； 当时，有，解得：； 的取值范围为：.（2）是真命题，是假命题，中一个为真命题，一个为假命题， 由为真时得由，解得，故有：真假时，有或，解得：；假真时，有或，解得：；的取值范围为：.【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题19(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3【详解】（1）据直方图知组距=10，由，解得（2）成绩落在中的学生
17、人数为成绩落在中的学生人数为（3）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、，则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：故所求概率为20【分析】设，由两点间距离公式，向量平行的坐标表示把用表示后代入可得结果；【详解】设，由于，则，所以，即，代入式得点的轨迹曲线的方程为21(1) (2) 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程试题解析：（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为（2）设以点为中点
18、的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.22（）；（）见解析.【分析】()由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；()设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.【详解】（）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（）设联立得，.直线，令得，即；同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题
