1、数 列【例1】在数列中，（），则 【分析】由得，是等差数列，【答案】【例2】数列满足，则 【分析】，该数列周期为4【答案】【例3】在等差数列中，若，则 【分析】数列是等差数列，由得，【答案】8【例4】已知的前n项之和 【分析】可求得则【答案】67【例5】设是数列的前项和，若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值是 【分析】当时，；当时，由得设，则又，综上的最大值是.【答案】【例6】设为数列的前项和，其中是常数（1）求及；（2）若对于任意的，成等比数列，求的值解：（1）当，当时，又当时合上式，（）（2）成等比数列，即，整理得：对任意的都成立，或【例7】数列中，（），数列满足（）（1）
2、求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由解：（1），而（），（）数列是等差数列（2）依题意有，而， 函数在（3.5，）上为减函数，在（，3.5）上也为减函数故当n4时，取最大值3，n3时，取最小值-1【例8】在等差数列中，前项和满足条件（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和解：（1）设等差数列的公差为，由得又，（2）由，得当时，；当且时，得，综上【例9】某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继
3、续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？若银行贷款的年利息为5%，问该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：结果精确到0.1元）解：设第个月月底的余额为元，则，于是还清银行贷款后剩余资金为答：到这年年底该个体户还贷款前尚余资金元；还清银行贷款后还有资金元【例10】已知分别以和为公差的等差数列和满足，（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；（2）若，且数列，的前项和满足，求数列和的通项公式；（3）在（2）的条件下，令，且，问不等式 是否对一切正整数恒成立？请说明理由解：（1）依题意， 即， 即，等号成立的条件为，即，等号不成立，原命题成立（2）由得，即，即，得，则，（3）在（2
4、）的条件下，要使，即要满足0当时，数列单调减；单调增当正整数时，；当正整数时，；当正整数时，则不等式对一切的正整数恒成立同理，当时，也有不等式对一切的正整数恒成立综上所述，不等式对一切的正整数恒成立【练习1】在数列中，（），则其前8项的和= 【答案】【练习2】已知数列满足，当时，则数列的前100项和【答案】1849【练习3】在各项均为正数的等比数列中，则 【答案】6【练习4】已知数列的前项和（），第项满足，则 【答案】7【练习5】已知数列中，（是与无关的实数常数），且满足，则实数的取值范围是_【答案】【练习6】数列的前项和记为（1）求的通项公式；（2）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等
5、比数列，求解：（1）由可得，两式相减得又，是首项为，公比为的等比数列（2）设的公差为，由得，可得，故可设又，由题意可得，解得等差数列的各项为正， 【练习7】已知是公差为的等差数列，它的前项和为, （1）求公差的值； （2）若，求数列中的最大项和最小项的值； （3）若对任意的，都有成立，求的取值范围解：（1），解得（2），数列的通项公式为函数在和上分别是单调减函数，又当时，数列中的最大项是，最小项是（3）由得又函数在和上分别是单调减函数，且时，；时，对任意的，都有，的取值范围是【练习8】等差数列的各项均为正数，前项和为，为等比数列， ，且（1）求与；（2）证明：解：（1）设的公差为，的公比为，则
6、，依题意有解得或(舍去) （2）， 【练习9】某企业进行技术改造需向银行贷款，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取）解：甲方案获利：（万元），银行贷款本息：（万元），故甲方案纯利：（万元）乙方案获利：（万元），银行本息和：（万元），故乙方案纯利：（万元）综上可知，甲方案更好【练习10】设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足：（1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论解：（1）在0,1上为增函数，（2），两式相减得， 两式相减得又， （3）由及当时又也满足，存在使得对所有的成立
