1、第7讲解三角形的应用举例1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图).2方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角如B点方位角为(如图).3方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90).如北偏东，南偏西.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45角称为西南方向、东北方向等(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图，角
2、为坡角).(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度).坡度又称为坡比1仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的2“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围是.1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40方向上，灯塔B在观察站南偏东60方向上，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10方向上 B北偏西10方向上C南偏东10方向上 D南偏西10方向上答案B解析A，B，C的位置如图所示由题可知ACB180406080，ACBC，ABC50，ABD605010.灯塔A在灯塔B的北偏西10方向上故选B.2.如图所示，在山
3、底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000 m到达S点，又测得山顶的仰角DSB75，则山高BC为()A500 m B200 mC1000 m D1000 m答案D解析SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，ASB135，在ABS中，由正弦定理，得AB1000(m)，BCABsin4510001000(m).3(2021安徽安庆期末质量监测)某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距a km，而门店A位于门店C的北偏东50方向上，门店B位于门店C的北偏西70方向上，则门店A，B间的距离为()Aa
4、 km Ba kmCa km D2a km答案C解析如图所示，依题意知CACBa km，ACB5070120，AB30.由正弦定理，得.则ABa(km)，即门店A，B间的距离为a km.故选C.4一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是 m.答案50解析如图，设水柱的高度是h m，水柱底端为C，顶端为D，则在ABC中，BAC60，ACh m，AB100 m，BCh m.根据余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即
5、h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50(m)，故水柱的高度是50 m5甲船在A处发现乙船在北偏东60的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶已知甲船的速度是a n mile/h，则甲船应沿着 方向前进，才能最快与乙船相遇答案北偏东30解析如图，设经过t h两船在C点相遇，则在ABC中，BCat，ACat，B18060120，由，得sin CAB.0CAB90，CAB30，DAC603030.即甲船应沿着北偏东30方向前进，才能最快与乙船相遇考向一测量距离问题例1如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往
6、正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A20 海里 B40 海里C20(1)海里 D40 海里答案A解析连接AB，由题意可知，BDC904545，又BCD90，BCCD40(海里).在ADC中，ADC105，ACD906030，DAC45，由正弦定理可得AC20(1)(海里).在ABC中，由余弦定理，得AB20(海里).故选A.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三
7、角形及正、余弦定理要恰当1.(2021宁夏吴忠质量检查)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80米，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为 米答案80解析如图所示，在ACD中，DCA15，ADC150，DAC15.由正弦定理，得AC40()(米)，在BCD中，BDC15，BCD135，CBD30，由正弦定理，得，BC160sin 1540()(米)，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBC co
8、s ACB1600(84)160021600()()1600161600432000，解得AB80(米)，则A，B两点间的距离为80米考向二测量高度问题例2(2021全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(1.732)()A346 B373 C446
9、D473答案B解析过C作BB的垂线交BB于点M，过B作AA的垂线交AA于点N，设BCCMm，ABBNn，在ABC中，因为ACB45，ABC60，所以CAB75.所以由正弦定理，得，在CBM中，所以，解得n273.所以A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为273100373.故选B.处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题2.(2021石家庄月考)如图，
10、为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，则塔高AB 米答案200解析设ABh，在RtABC中，ACB45，则BCh.在RtABD中，ADB30，则BDh.在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBD cos CBD，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)，即塔高AB200米考向三测量角度问题例3一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行(22)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15的方向航行4 n mile
11、到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求CAB的大小.解(1)由题意，在ABC中，ABC1807515120，AB(22)n mile，BC4 n mile，根据余弦定理得AC2AB2BC22ABBC cos ABC(22)242(22)424，所以AC2 n mile.(2)根据正弦定理得，sin CAB，所以CAB45.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用3如图所示，一艘巡
12、逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)的方向上，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向上，此时测得山顶P的仰角为60，已知山高为2千米(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向上？解(1)在RtBCP中，由tan PBC，得BC2千米，在ABC中，由正弦定理，得，即，所以AB2(1)千米，故船的航行速度是每小时6(1)千米(2)在BCD中，BD(1)千米，BC2千米，CBD60，则由余弦定理，得CD千米在BCD中，由正弦定理，得，即，所以sin CDB，所以山顶位于D处南偏东45的
13、方向上1已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km答案D解析如图所示，由余弦定理可得AC210040021020cos 120700，AC10(km).2.如图，设A，B两点在河的两岸，测量者在A的同侧，选定一点C，测出A，C两点的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()A.50 m B50 mC25 m D m答案A解析由题意，得ABC30，由正弦定理得AB50(m).3(2021上海市浦东区月考)要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄
14、浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 m答案D解析由题意画出示意图，设塔高ABh m，在RtABC中，由已知得BCh m在RtABD中，由已知得BDh m在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCD cos BCD，得3h2h25002h500，解得h500.故选D.4(2022陕西汉中高三上第一次校际联考)为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东7
15、5的方向航行到达海岛B，然后从海岛B出发，沿北偏东45的方向航行了60海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A以北偏东60的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC(单位：海里)为()A10 B30 C40 D60答案D解析如图，由题意可得BAC301545，ABC7545120，BC60，在ABC中，运用正弦定理得，AC6060.故选D.5长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan ()A B C D答案A解析由题意，得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由
16、余弦定理得AB2AC2BC22ACBC cos ACB，即3.521.422.8221.42.8cos ()，解得cos ，所以sin ，所以tan .故选A.6.如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得ADC67.5，从C点测得ACD45，BCE75，从E点测得BEC60.若测得DC2，CE(单位：百米)，则A，B两点的距离为()A百米 B2百米C3百米 D2百米答案C解析根据题意，在ADC中，ACD45，ADC67.5，DC2，则DAC1804567.567.5，则ACDC2.在BCE中，BCE75，BEC60，CE，则EBC1807560
17、45，由正弦定理，则有，变形可得BC.在ABC中，AC2，BC，ACB180ACDBCE60，则AB2AC2BC22ACBC cos ACB9，则AB3，即A，B两点的距离为3百米故选C.7.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h答案B解析设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h.由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得12221，解
18、得v6 km/h.故选B.8(2021全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB()A表高 B表高C表距 D表距答案A解析因为DEAB，所以.因为FGAB，所以.又DEFG，所以，即，解得AE.又AHAEEH，所以ABDE.又DE为表高，EG为表距，GCEH为表目距的差，所以AB表高故选A.9.某观察站B在A城的南偏西20的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东2
19、5.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路骑车以40 km/h的速度向A城驶去，行驶了15 min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为8 km，则此人到达A城还需要()A.40 min B42 minC48 min D60 min答案C解析由题意可知，BAD45，CD4010(km).在BCD中，由余弦定理，得cos BDC，cos ADBcos (BDC)，sin ADB，sinABDsin (ADBBAD).在ABD中，由正弦定理得，AD32(km)，所需时间t0.8(h).0.86048(min)，此人还需要48 min才能到达A城故选C.10(2022江西高安模拟
20、)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为5米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()A米/秒 B米/秒C米/秒 D米/秒答案B解析如图所示，依题意，知AEC45，ACE1806015105，EAC1804510530，在ACE中，由正弦定理，得，ACsin 4510(米)，在RtABC中，ABAC sin ACB1015(米)，国歌长度约为50秒，升旗手升旗的速度应为(米/秒).故选
21、B.11.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长 m.答案100解析设坡底需加长x m，由正弦定理得，解得x100(m).12.如图，江岸边有一炮台OA高30 m，江中有两条船M，N，船与炮台底部O在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距 m.答案10解析OMAO tan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得MN10(m).13.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角
22、CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN m.答案150解析在RtABC中，CAB45，BC100 m，所以AC100 m在AMC中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理得，因此AM100 m在RtMNA中，AM100 m，MAN60，由sin 60得MN100150(m).14.(2022吉林质检)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，则乙船应朝北偏东 的方向沿直线前往B处救援答案71解析如图，连接CB.在ABC中，
23、CAB9030120.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABAC cos 120.又AC10，AB20，得BC220210222010，BC10(海里).由正弦定理，得sin ACB.又ACB为锐角，ACB41.作CMBA，交BA的延长线于点M，则BCM30ACB71.乙船应朝北偏东约71的方向沿直线前往B处救援15.如图，点A，B，C在同一水平面上，AC4，CB6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端.(1)原计划CD为铅垂线方向，45，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得30，53，求CD2.(结果精确到1)(参考数据：sin 971，cos 530.6)
24、解(1)CD为铅垂线方向，点D在顶端，CDAB.又45，CDAC4.(2)在ABD中，533083，ABACCB4610，ADB1808397，由正弦定理，得，AD5.在ACD中，由余弦定理，得CD2AD2AC22ADAC cos 5242254cos 5317.16在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在
25、C处追上蓝方的小艇，则AC14x n mile，BC10x n mile，AB12 n mile，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240x cos 120，解得x2(负值舍去).故AC28 n mile，BC20 n mile.根据正弦定理，得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.17.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚
26、秒在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30.(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.解(1)设BCx米，由条件可知ACx340x40(米)，在ABC中，BC2AB2AC22ABAC cos BAC，即x21002(x40)22100(x40)，解得x380，所以AC38040420(米)，故A，C两地的距离为420米(2)在RtACH中，AC420米，HAC30，所以HCAC tan 30420140(米)，故这种仪器的垂直弹射高度HC为140米18(2021山西太原模拟)2020年5月，我国海军第35批护航编队，在亚丁湾海域开始执行护
27、航任务某日，护航编队旗舰“太原”舰，在A处收到某商船在航行中发出求救信号后，立即测出该商船在方位角(是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)为45、距离A处为10 n mile的C处，并测得该船正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度航行，“太原”舰立即以21 n mile/h的速度航行前去营救(1)“太原”舰最少需要多长时间才能靠近商船？(2)在营救时间最短的前提下，“太原”舰应按照怎样的航行方向前进？(角度精确到0.1，参考数据：sin 68.20.9286，sin 21.80.3711，1.732)解(1)由题知舰艇沿直线航行时所需时间最短，设舰艇在
28、B处靠近商船，从A处到靠近商船所用的时间为x h则AB21x n mile，BC9x n mile，AC10 n mile，又ACB1245(180105)120，根据余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBC cos 120，即(21x)2102(9x)22109x cos 120，即36x29x100，解得x1，x2(舍去).故“太原”舰最少需要 h才能靠近商船(2)解法一：由(1)知AB21x14 n mile，BC9x6 n mile，由余弦定理可得cos BAC0.9286，BAC21.8，故“太原”舰前进的方位角约为4521.866.8.解法二：由正弦定理，得，故sin BAC0.3711，BAC21.8，故“太原”舰前进的方位角约为4521.866.8.