1、课时作业33等比数列一、选择题1(2018北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的(B)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：a，b，c，d是非零实数，若adbc，则，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则，所以adbc，所以“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.2已知在等比数列an中，a37，前三项之和S321，则公比q的值是(C)A1 BC1或 D1或解析：当q1时，a37，S321，符合题意；当q1时，得q.综上，q的值是1或，故选C.3
2、中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(D)Aa，b，c成公比为2的等比数列，且aBa，b，c成公比为2的等比数列，且cCa，b，c成公比为的等比数列，且aDa，b，c成公比为的等比数列，且c解析：由题意可得，a，b，c成公
3、比为的等比数列，ba，cb，故4c2cc50，解得c.故选D.4(2019云南11校跨区调研)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12(B)A40 B60C32 D50解析：由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S9S616，S612，S12S932，S1232161260.5已知等比数列an的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为(C)A4 B6C8 D10解析：由题意得a1a385，a2a4170，所以数列
4、an的公比q2，由数列an的前n项和Sn，得85170，解得n8.6(2019福建模拟)已知递增的等比数列an的公比为q，其前n项和Sn0，则(A)Aa10,0q1 Ba11Ca10,0q0，q1解析：Sn0，a1an，且|an|an1|，anan10，则q(0,1)，a10,0q0)，因为a2 018，所以a2 017，a2 019a2 018qq，则有qq24，当且仅当q22，即q时取等号，故所求最小值为4.9(2019河北衡水中学模拟)在等比数列an中，a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为17，设bna2n1a2n，nN*，则数列bn的前2n项和为(142n)解析：设an的公比为q
5、，则由等比数列的性质，知a2a3a1a42a1，则a42，由a4与2a7的等差中项为17，知a42a721734，得a716，q38，即q2，a1，则an2n12n3，bna2n1a2n22n422n322n4222n422n4，b1b2b3b2n(222022222n4)(142n)三、解答题10(2019贵阳市监测考试)设等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，a1a24，a3a26.(1)求数列an的通项公式；(2)若对任意的nN*，kan，Sn，1都成等差数列，求实数k的值解：(1)a1a24，a3a26，q0，q3，a11.an13n13n1，故数列an的通项公式为an3n1.(2)
6、由(1)知an3n1，Sn，kan，Sn，1成等差数列，2Snkan1，即2k3n11，解得k3.11(2019南京、柳州联考)已知a12，a24，数列bn满足：bn12bn2且an1anbn.(1)求证：数列bn2是等比数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：由题知，2，b1a2a1422，b124，数列bn2是以4为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)可得，bn242n1，故bn2n12.an1anbn，a2a1b1，a3a2b2，a4a3b3，anan1bn1.累加得，ana1b1b2b3bn1(n2)，an2(222)(232)(242)(2n2)22(n1)2n12n，故a
7、n2n12n(n2)a1221121，数列an的通项公式为an2n12n(nN*)12(2019武汉市调研)等比数列an的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn24Sn3恒成立，则a1的值为(C)A3 B1C3或1 D1或3解析：设等比数列an的公比为q，当q1时，Sn2(n2)a1，Snna1，由Sn24Sn3得，(n2)a14na13，即3a1n2a13，若对任意的正整数n,3a1n2a13恒成立，则a10且2a130，矛盾，所以q1，所以Sn，Sn2，代入Sn24Sn3并化简得a1(4q2)qn33a13q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或故a11或3，故选C.13(2019
8、潍坊市统一考试)若数列an的前n项和Sn满足Sn2an(0，nN*)(1)证明数列an为等比数列，并求an；(2)若4，bn(nN*)，求数列bn的前2n项和T2n.解：(1)证明：Sn2an，当n1时，得a1，当n2时，Sn12an1，SnSn12an2an1，即an2an2an1，an2an1，数列an是以为首项，2为公比的等比数列，an2n1.(2)4，an42n12n1，bnT2n22324526722n2n1(222422n)(352n1)n(n2)，T2nn22n.14已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4a3，则使得Tn1的n的最小值为(C)A4
9、B5C6 D7解析：an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，aa3，a31.又q1，a1a21(n3)，TnTn1(n4，nN*)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，故n的最小值为6，故选C.15(2019江西南昌模拟)在数列an中，a11，a12a23a3nanan1(nN*)(1)求数列an的通项an；(2)若存在nN*，使得an(n1)3n成立，求实数的最大值解：(1)a12a23a3nanan1，a12a23a3(n1)an1an(n2)，得nanan1an，即(n1)an13nan，3(n2)数列nan(n2)是以2a22为首项，3为公比的等比数列nan23n2，an3n2(n2)，又a11不满足上式an(2)存在nN*，使得an(n1)3n成立，存在nN*，使得成立令f(n)，则f(n)max.由(1)可知当n1时，f(1)，当n2时，f(n)，则f(n1)f(n)0，当n2时，数列f(n)是递减数列，当n2时，f(n)f(2).当nN*时，f(n)max.故所求实数的最大值为.
