1、第4节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义及标准方程2,4,6双曲线的几何性质1,3,5,9双曲线定义、标准方程及几何性质的综合应用7,8,10,11,12,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于(D)(A)(B)(C)2(D)4解析:双曲线的方程可化为x2-=1,所以实轴长为2,虚轴长为2,所以2=2(2),解得m=4.故选D.2.已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则PF1Q的周长为(D)(A)4 (B) (C)5(D)解析:由双曲线方程
2、得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,所以c=2,所以右焦点F2(2,0),因为xP=2且PQ过点F2,所以PQx轴,如图,由此得|PF1|+|PF2|=,所以PF1Q的周长为2(|PF1|+|PF2|)=.故选D.3.(2016全国卷)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=,则E的离心率为(A)(A)(B)(C)(D)2解析:由题不妨设|MF1|=1,|MF2|=3,则c=,a=1,得e=.故选A.4.已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方
3、程为(A)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:圆心的坐标是(3,0),所以半焦距c=3,圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bxay=0,根据已知得=2,即=2,解得b=2,则a2=32-22=5,故所求的双曲线方程是-=1.故选A.5.(2017佳木斯市三模)椭圆C:+=1与双曲线E:-=1(a,b0)有相同的焦点,且两曲线的离心率互为倒数,则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:椭圆C:+=1的焦点坐标为(1,0),离心率为.双曲线E:-=1(a,b0)的焦点为(1,0),c=1,双曲线的离心率为椭圆的倒数,所以为2.由e=,即2=,得a=,
4、则b=,双曲线渐近线为y=x,设渐近线的倾斜角,则tan =,所以=60或120,所以sin =.故选D.6.已知双曲线-y2=1的左、右焦点为F1,F2,点P为左支上一点,且满足F1PF2=60,则F1PF2的面积为.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,在F1PF2中由余弦定理得m2+n2-2mncos 60=(2c)2,由双曲线定义得n-m=2a,联立化为所以mn=4,所以=mnsin 60=.答案:7.已知F1,F2为双曲线-=1(a0,b0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为.解析:法一设F2(c,0)(c0),P(c,
5、y0),代入双曲线方程得y0=,因为PQx轴,所以|PF2|=.在RtF1F2P中,PF1F2=30,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=.又因为c2=a2+b2,所以b2=2a2或2a2=-3b2(舍去).因为a0,b0,所以=.故所求双曲线的渐近线方程为y=x.法二设F2(c,0),由题意RtPF1F2中,PF1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|,由双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=2a,即|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,所以=,所以c=a,所以c2=3a2,又c2=a2+b2进而得b2=2a2,所以=,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x能力提升(时间:15分钟)8.
6、如图,已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2| =8,P是双曲线右支上的一点,直线F2P与y轴交于点A,APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若|PQ|=2,则该双曲线的离心率为(C)(A)(B)(C)2(D)3解析:如图记AF1,AF2与APF1的内切圆相切于N,M,则|AN|=|AM|,|PM|=|PQ|,|NF1|=|QF1|,因为|AF1|=|AF2|,所以|NF1|=|AF1|-|AN|=|AF2|-|AM|=|MF2|,所以|QF1|=|MF2|,所以|PF1|-|PF2|=(|QF1|+|PQ|)-(|MF2|-|PM|)=|PQ|+|PM|=2
7、|PQ|=4,即2a=4,所以a=2.由|F1F2|=8=2c,得c=4,所以e=2.故选C.9.若双曲线C:mx2+y2=1的离心率为2k(k0),其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率,则m的值为(B)(A)-(B)(C)-3(D)解析:mx2+y2=1,即y2-=1(m0),所以a2=1,b2=-,所以e2=1+=1-=(2k) 2,又渐近线斜率k=,所以k2=-m,所以1-=-4m.所以4m2+m-1=0,因为mb10),双曲线C2的方程为-=1(a20,b20),焦点F1(-c,0),F2(c,0).法一由e1=,e2=,=,得=,则a1=3a2.由题意|PF1|+|PF2|=2a1,|
8、PF1|-|PF2|=2a2,则|PF1|=a1+a2=4a2,|PF2|=a1-a2=2a2.由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2,则(2c)2=(4a2)2+(2a2)2-24a22a2,c2=3,=c2-=2,则b2=a2,双曲线的渐近线方程y=x=x,即xy=0.故选C.法二因为=,所以a1=3a2,由椭圆及双曲线定义得|PF1|+|PF2|=2a1=6a2,|PF1|-|PF2|=2a2,2-2化为|PF1|PF2|=8,在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos,所以|
9、F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,所以(2c)2=(2a2)2+8,所以c2=3,(以下同法一).11.F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为.解析:如图,由双曲线定义得,|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a,因为ABF2是等边三角形,所以|BF2|=|AF2|=|AB|,因此|AF1|=2a,|AF2|=4a,且F1AF2=120,在F1AF2中,4c2=4a2+16a2+22a4a=28a2,所以e=.答案:12.(2017邯郸市
10、一模)已知点A(a,0),点P是双曲线C:-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为3,则a=.解析:设P(x,y)(x2),则|PA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+(-1)=(x-a)2+a2-1.a时,取x=a,得|PA|2的最小值为a2-1=9,所以a=5;a0,b0)的左、右焦点为F1,F2,P为双曲线C右支上异于顶点的一点,PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0),且P与点F1关于直线y=-对称,则双曲线方程为. 解析:设点A(1,0),因为PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0),则|PF1|-|PF2|=|AF1|-|AF2|,所以2a=(c+1)-(c-1),则a=
11、1.因为P与点F1关于直线y=-对称,如图,F1PF2的一条中位线在直线y=-x上,所以F1PF2=且=tanPF2F1=b,联立|PF1|-|PF2|=2且|PF1|2+|PF2|2=4c2=4+4b2解得b=2.所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=114.P(x0,y0)(x0a)是双曲线E:-=1(a0,b0)上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=+,求的值.解:(1)由点P(x0,y0)(xa)在双曲线-=1上,有-=1.由题意知=,联立可得a2=5b2,又c2=a2+b2=6b2,则e=.(2)联立得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=+,即又C为双曲线上一点,即-5=5b2,有(x1+x2)2-5(y1+y2)2=5b2,化简得2(-5)+(-5)+2(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以-5=5b2,-5=5b2,由式有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,将以上各式代入式得2+4=0,解得=0或=-4.