1、课时作业梯级练四十三空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(每小题5分，共25分)1已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】选A.若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件2在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体过P，Q，R的截面图形是()A三角形 B四边形C五边形 D六边形【解析】选D.如图所示，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，连接MR交BB1于
2、E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，所以截面为六边形3已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC60，AA1AB2，BC1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为()A B C D【解析】选B.将直三棱柱补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，则A1DB1C.所以DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角在三角形ABD中BD2AB2AD22ABADcos BAD22122217.在三角形A1BD中，A1B2，A1D，BD.所以cos BA1D，即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.4(2021运城模拟)在长
3、方体ABCDA1B1C1D1中，BC2，ABBB14，E，F分别是A1B1，CD的中点，则异面直线A1F与BE所成角的余弦值为()A B C D【解析】选C.连接CE，如图所示，因为A1ECFCD，A1ECF，所以四边形A1ECF是平行四边形，所以ECA1F，故BEC是异面直线A1F与BE所成的角(或其补角).因为BC2，ABBB14，E是A1B1的中点，所以B1EA1B12.由勾股定理，得BE2.由长方体的性质可知，BC平面A1B1BA，因为BE平面A1B1BA，所以BEBC，在RtBEC中tan BEC，所以cos BEC，所以异面直线A1F与BE所成角的余弦值为.5.如图,正方体ABCD
4、-A1B1C1D1的棱长为1,则下列命题正确的有()直线BC与平面ABC1D1所成角等于;点C到平面ABC1D1的距离为;两条异面直线D1C和BC1所成角为;三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球半径为.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,对于,连接B1C,交BC1于点O,则COBC1,由正方体的性质得AB平面BCC1B1,所以ABCO,又ABBC1=B,所以CO平面ABC1D1,故直线BC与平面ABC1D1所成的角为CBC1=,故正确;对于,因为B1C平面ABC1D1,点C到平面ABC1D1的距离为B1C长度的一半,即h=,故正确;对于,连
5、接AC,因为BC1AD1,所以异面直线D1C和BC1所成的角为AD1C,而AD1C为等边三角形,故两条异面直线D1C和BC1所成的角为,故错误;对于,因为A1A,A1B1,A1D1两两垂直,所以三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球也是正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球,故r=,故正确.综上可知,正确的为有3个.二、填空题(每小题5分，共15分)6如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH是正方形【解析】易知EHBDFG，且EHBDFG，同理EFACHG，且EF
6、ACHG，显然四边形EFGH为平行四边形要使平行四边形EFGH为菱形需满足EFEH，即ACBD；要使平行四边形EFGH为正方形需满足EFEH且EFEH，即ACBD且ACBD.答案：ACBDACBD且ACBD7(2020全国卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行p4：若直线l平面，直线m平面，则ml.则下述命题中所有真命题的序号是_p1p4 p1p2p2p3 p3p4【解析】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为；若l3与l1相交，则交点A在平面内，同理，l3与l
7、2的交点B也在平面内，所以，AB平面，即l3平面，命题p1为真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p3为假命题；对于命题p4，若直线m平面，则m垂直于平面内所有直线，因为直线l平面，所以直线m直线l，命题p4为真命题综上可知，p1p4为真命题，p1p2为假命题，p2p3为真命题，p3p4为真命题答案：8正四面体ABDC中，E，F分别为边AB，BD的中点，则异面直线AF，CE所成角的余弦值为_【解析】如图，连接CF，取BF的中点M，连接CM，EM，则MEAF，故CEM即为所求的异面直线AF，CE所成的角(
8、或其补角).设这个正四面体的棱长为2，在ABD中，AFCECF，EM，CM，所以cos CEM.答案：1(2021汕头模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE的中点，则()AC，E，F，G四点共面，且CFEGBC，E，F，G四点共面，且CFEGCC，E，F，G四点不共面，且CFEGDC，E，F，G四点不共面，且CFEG【解析】选B.连接AC，CE.因为G是正方形ABCD的中心，所以G直线AC.又AC平面ACE，所以G平面ACE，又F直线AE，所以F平面ACE，又C平面ACE，E平面ACE，所以C，E，F，G四
9、点共面取AD的中点M，连接EM，GM，则EM，GM1，所以EG2，取AM的中点N，连接FN，CN，则FN，CN，所以CF.所以EGCF.2(2021哈尔滨模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是线段D1C1的中点，点P在线段AA1上，且AP2A1P，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为()A BC D【解析】选D.连接PD1，如图所示，因为ABD1C1，所以PQD1为异面直线PQ与AB所成角(或其补角).由正方体的性质可知，D1C1面ADD1A1，因为PD1面ADD1A1，所以D1C1PD1.设正方体的棱长为a，在RtPQD1中，D1QD1C1a，PD1a，所以tan PQD1，cosP
10、QD1.所以异面直线PQ与AB所成角的余弦值为.3如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案：4已知：空间四
11、边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CGBC，CHDC.求证：(1)E，F，G，H四点共面(2)三直线FH，EG，AC共点【证明】(1)连接EF，GH，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD.又因为CGBC，CHDC，所以GHBD，所以EFGH，所以E，F，G，H四点共面(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FHACM，所以M平面EFHG，M平面ABC.又因为平面EFHG平面ABCEG，所以MEG，所以三直线FH，EG，AC共点5如图所示，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点求异面直线BE与CD所成角的余弦值【解析】如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EFCD，所以BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角在RtEAB中，ABAC1，AEAD，所以BE.在RtEAF中，AFAC，AE，所以EF.在RtBAF中，AB1，AF，所以BF.在等腰三角形EBF中，cos FEB.所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.