1、课时作业16导数与不等式问题一、选择题1当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是(C)A5，3 B.C6，2 D4，3解析：当x(0,1时，a3342，令t，则t1，)，a3t34t2t，令g(t)3t34t2t，在t1，)上，g(t)0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.二、填空题3若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是(，20解析：令f(x)x33x29x2，则f(x)3x26x9，令f(x)0，得x1或3(舍去)因为f(1)7，f(2)0，f(
2、2)20.所以f(x)的最小值为f(2)20，故m20.4(2019福建三校联考)已知函数f(x)ax2xlnx在上单调递增，则实数a的取值范围是a.解析：f(x)2axlnx10，解得2a在上恒成立，构造函数g(x)，g(x)0，解得x1，g(x)在上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)的最大值为g(1)1，2a1，a，故填a.5(2019四川成都七中一诊)设函数f(x)，g(x)，对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，则正数k的取值范围是k.解析：对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，等价于恒成立，f(x)x22，当且仅当x，即x1时取等号，即f(x)的最小值是2，由g(x)，则g
3、(x)，由g(x)0得0x1，此时函数g(x)为增函数，由g(x)1，此时函数g(x)为减函数，即当x1时，g(x)取得极大值同时也是最大值g(1)，则的最大值为，则由，得2ekk1，即k(2e1)1，则k.三、解答题6(2019沈阳监测)已知函数f(x)alnx(a0)，e为自然对数的底数(1)若过点A(2，f(2)的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x0时，求证f(x)a；(3)若在区间(1，e)上eex0)，则g(x)a.令g(x)0，即a0，解得x1，令g(x)0，解得0x1；g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)的最小值为g(1)0，f(x)a.(3)由题意可
4、知eex，化简得.令h(x)，则h(x)，由(2)知，当x(1，e)时，lnx10，h(x)0，即h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)0，a1)(1)求函数f(x)的极小值；(2)若存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围解：(1)f(x)axlna2xlna2x(ax1)lna.当a1时，lna0，(ax1)lna在R上是增函数，当0a1时，lna1或0a0的解集为(0，)，f(x)0)，g(a)1(1)20，g(a)a2lna在(0，)上是增函数而g(1)0，故当a1时，g(a)0，即f(1)f(1)；当0a1时，g(a)0，即f
5、(1)1时，f(1)f(0)e1，即alnae1.函数yalna在(1，)上是增函数，解得ae；当0a1时，f(1)f(0)e1，即lnae1，函数ylna在(0,1)上是减函数，解得0a.综上可知，所求a的取值范围为(0，e，)8(2019惠州市调研考试)已知函数f(x)2ex(xa)23，aR.(1)若函数f(x)的图象在x0处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若x0，f(x)0恒成立，求a的取值范围解：(1)f(x)2(exxa)，函数f(x)的图象在x0处的切线与x轴平行，即在x0处的切线的斜率为0，f(0)2(a1)0，a1.(2)由(1)知f(x)2(exxa)，令h(x)2(ex
6、xa)(x0)，则h(x)2(ex1)0，h(x)在0，)上单调递增，且h(0)2(a1)当a1时，f(x)0在0，)上恒成立，即函数f(x)在0，)上单调递增，f(x)minf(0)5a20，解得a，又a1，1a.当a0，使h(x0)0，且当x0，x0)时，h(x)0，即f(x)0，则f(x)0，即f(x)单调递增，f(x)minf(x0)2ex0(x0a)230，又h(x0)2(ex0x0a)0，2e x0(e x0)230，解得0x0ln3.由e x0x0aax0e x0，令M(x)xex,0xln3，则M(x)1ex0，M(x)在(0，ln3上单调递减，则M(x)M(ln3)ln33，
7、M(x)M(0)1，ln33a1.综上，ln33a.故a的取值范围是ln33，9(2019益阳、湘潭调研考试)设函数f(x)x33x2ax5a，若存在唯一的正整数x0，使得f(x0)0，得x2，故g(x)在(，0)，(2，)上单调递增，由g(x)0，得0x2，故g(x)在(0,2)上单调递减，画出函数g(x)和h(x)的大致图象如图所示，h(x)过定点(1,0)由图可知要使存在唯一的正整数x0，使得f(x0)0，即存在唯一的正整数x0，使得g(x0)h(x0)，只需即解得a，故选B.10(2019湖北八校联考)已知函数f(x)lnxex(R)(1)若函数f(x)是单调函数，求的取值范围；(2)
8、求证：当0x11.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnxex，f(x)ex，函数f(x)是单调函数，f(x)0或f(x)0在(0，)上恒成立，当函数f(x)是单调递减函数时，f(x)0，0，即xex0，xex，令(x)，则(x)，当0x1时，(x)1时，(x)0，则(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x0时，(x)min(1)，；当函数f(x)是单调递增函数时，f(x)0，0，即xex0，xex，由得(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又(0)0，x时，(x)0，0.综上，或0.(2)证明：由(1)可知，当时，f(x)lnxex在(0，)上单调递减，0x1f(x2)，即lnx1ex1lnx2ex2，e1x2e1x1lnx1lnx2.要证e1x2e1x11，只需证lnx1lnx21，即证ln1，令t，t(0,1)，则只需证lnt1，令h(t)lnt1，则当0t1时，h(t)0，即lnt1，得证
