1、课时作业梯级练十九定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用 一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知t是常数,若 (2x-2)dx=8,则t=()A.1B.-2C.-2或4 D.4【解析】选D.由 (2x-2)dx=8得,(x2-2x) =t2-2t=8,解得t=4或t=-2(舍去).2.下列命题不正确的是()A.若f(x)是连续的奇函数,则 f(x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dxC.若f(x)在a,b上连续且恒正,则 f(x)dx0D.若f(x)在a,b)上连续且 f(x)dx0,则f(x)在a,b)上恒正【解析】选D.对于A,因为f(x)是
2、奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故定积分是0,A正确;对于B,因为f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,故y轴左右两侧的图象都在x轴下方或上方且面积相等,B正确;C显然正确;对于D,f(x)可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)0的曲线围成的面积比f(x)0)表示成定积分()A. dxB. xpdxC. dxD. dx【解析】选B.由求和式极限 (p0),我们知道求和式可以表示为 ,故可以知道被积函数为f(x)=xp,积分区间为0,1.6.一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30方向做直线运动,则由x=1
3、运动到x=2时,F(x)做的功为()A. JB. JC. JD.2 J【解析】选C.变力F在位移方向上的分力为Fcos 30,故F(x)做的功为W= (5-x2)cos 30dx= (5-x2)dx= = (J).7.若f(x)=x2+2 f(x)dx,则 f(x)dx=()A.-1B.- C. D.1【解析】选B.令 f(x)dx=m,则f(x)=x2+2m,所以 f(x)dx= x2dx+ 2mdx= =m,得m=- .二、填空题(每小题5分,共15分)8. |1-x|dx=.【解析】 |1-x|dx= (1-x)dx+ (x-1)dx= + =1.答案:1【加练备选拔高】设函数f(x)=
4、ax2+b(a0),若 f(x)dx=3f(x0),x00,则x0=.【解析】依题意得 f(x)dx= (ax2+b)dx= x3+bx =3(a +b),即3a =9a(a0), =3(x00),由此解得x0= .答案: 9.如图,阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形,则这个阴影区域的面积为.【解析】根据余弦函数的对称性可得:曲线从x=- 到x= 与x轴围成的面积与从x= 到x= 与x轴围成的面积相等,故阴影部分的面积为S= cos xdx= =2.答案:210.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,bR)的图象如图所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象
5、所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则a的值为.【解析】由已知得f(0)=0,因为f(x)=3x2+2ax+b,所以b=0,则f(x)=x3+ax2,令f(x)=0,得x1=0,x2=-a.由切线y=0与函数图象所围区域(题图中阴影部分)的面积为 ,得- f(x)dx= ,即 (x3+ax2)dx= ,即- = ,所以- = ,即 = ,解得a=3,由题图可知a0,所以a=-3.答案:-3 1.(5分)设f(x)= cos tdt,则f =()A.1B.sin C.sin 2D.2sin 【解析】选D.因为f(x)= cos tdt=sin t =2sin x,所以f =2sin = ,所以f
6、 =2sin .2.(5分) (sin x+|sin x|)dx= ()A.0B.1C.2 D.3【解析】选C. (sin x+|sin x|)dx= sin xdx+ |sin x|dx= |sin x|dx=2 sin xdx=-2cos x =2.3.(5分)用mina,b表示a,b两个数中的最小值,f(x)=min ,则由函数f(x)的图象,x轴与直线x= 和直线x=2所围成的封闭图形的面积为.【解析】由题意,围成的封闭图形如图中阴影部分,由题意,S= dx+ dx= +ln x = +ln 2= +ln 2.答案: +ln 24.(10分)物体A以速度(单位:米/秒)v=3t2+1在
7、一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以速度(单位:米/秒)v=10t与A同向运动,求出发后物体A追上物体B所用的时间t(单位:秒).【解析】因为物体A在t秒内行驶的路程为 (3t2+1)dt,物体B在t秒内行驶的路程为 10tdt,(t3+t-5t2)=3t2+1-10t,所以 (3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2) =t3+t-5t2=5,整理得(t-5)(t2+1)=0,解得t=5.答:出发后物体A追上物体B所用的时间为5秒.5.(10分)已知曲线C1:y2=2x与C2:y= x2在第一象限内的交点为P.(1)求P处与曲线C2相切的直线方程.(2)求两条曲线所围图形(如图所示阴影部分)的面积S.【解析】(1)曲线C1:y2=2x与C2:y= x2在第一象限内交点为P(2,2).C2:y= x2的导数y=x, y|x=2=2,而切点的坐标为(2,2),所以曲线C2:y= x2在P处的切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.(2)由曲线C1:y2=2x与C2:y= x2可得两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2),所以两条曲线所围图形的面积S= dx= = .
