1、第三课时正切函数的图象与性质我们知道正切是正弦与余弦的比值，那么如何求正切函数的周期和单调性？正切函数的图象有什么特点？本节课就研究正切函数的性质与图象问题(1)前面我们学习了正弦函数的图象与性质，余弦函数的图象与性质，回想一下，我们是如何得到正弦函数图象与余弦函数图象的？(2)类比正弦函数图象和余弦函数图象的学习过程，对于正切函数的图象是否适用？知识点正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R周期性奇偶性奇函数单调性在区间上都是增函数对称性对称中心1画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指，(0，0)，“两线”是指x和x，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线2
2、正切函数在每一个区间(kZ)内是增函数不能说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间3函数ytan(x)的周期为T.1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在R上是递增的()(3)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心()(4)正切函数的最小正周期为.()答案：(1)(2)(3)(4)2函数ytan的最小正周期为()A.B.C D2答案：B3函数ytan的定义域为_答案：4函数ytan x，x的最大值为_答案：15函数ytan的单调递增区间是_答案：，kZ正切函数的定义域及值域例1(链接教科书第191页例6)(1)函数yln(tan
3、 x)的定义域_；(2)函数ytan2x2tan x3的最小值为_解析(1)由题意得即故定义域为(kZ)(2)y(tan x1)22，由于tan xR，所以当tan x1时，函数取最小值2.答案(1)(kZ)(2)21求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解；(2)求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kZ，解得x.2求正切函数值域的方法(1)对于yAtan(x)的值域，可以把x看成整体，结合图象，
4、利用单调性求值域；(2)对于与ytan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域跟踪训练1函数ytan的定义域是()A.B.C.D.解析：选D由xk1(k1Z)得xk1(k1Z)从而xk2(k2Z)由k2Z得xk(kZ)，ytan的定义域为.故选D.2函数ytan2x4tan x1，x的值域为_解析：x，1tan x1.令tan xt，则t1，1yt24t1(t2)25.当t1，即x时，ymin4；当t1，即x时，ymax4.故所求函数的值域为4，4答案：4，4正切函数的单调性角度一求正切函数的单调区间例2求函数ytan的单调区间解ytantan，由kxk(kZ)，得2kx
5、0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk(kZ)，求得x的范围即可；(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可角度二比较大小例3不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小(1) tan与tan；(2)tan与tan.解(1)因为tantan，tantan，又0，ytan x在上是增函数，所以tantan，即tantan.(2)因为tantan，tantan，又0tan，所以tantan，即tantan.运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运
6、用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小关系跟踪训练1若函数ytan x在内是减函数，则的取值范围为_解析：由题意知其周期T，即.|1，又函数为减函数，0.故10.答案：1，0)2不通过求值，比较大小：tan和tan.解：tantantan，tantantan.又0，ytan x在内单调递增，tantan.正切函数的周期性、奇偶性例4已知函数ytan(0)的周期为，求该函数的定义域、值域，并判断函数的奇偶性解ytan(0)的周期为，解得2或2.因为0，所以2，故ytantan.由2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以该函数的定义域为，值域为R.由于该函数的定义域不
7、关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期；(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(x)与f(x)的关系跟踪训练1函数f(x)|tan 2x|是()A周期为的奇函数 B周期为的偶函数C周期为的奇函数 D周期为的偶函数解析：选Df(x)|tan(2x)|tan 2x|f(x)为偶函数，T.2关于函数ytan，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间上单调递减C.为图象的一个对称中心D最小正周期为解析：选C令f(x)tan.由2xk(kZ)，解得x(kZ)，即定义域为，由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；由正切函数的图象知ytan没有单调递减区间，故B错误；因为ftan 00，故为图象的一个对称中心，故C正确；ytan的最小正周期T，故D错误1函数y2tan的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：选A由kxk，kZ，解得2kx0，T，2，故选C.3函数ytan的单调递增区间是_解析：令k2xk，kZ，解得x，kZ.答案：，kZ4函数ytan，x的值域是_解析：由0x得0，从而.tan tantan ，即1tan .答案：(1,