1、第八节正弦定理和余弦定理的应用1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图(a)2方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图(b)3方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度小题体验1如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为10 m，则树的高度h为()A(55)mB(3015)mC(1530)m D(153)m解析：选A在PAB中，由正弦定理，得，因为s
2、in(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，所以PB5()(m)，所以该树的高度hPBsin 45(55) m.2如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为_ m.答案：50易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角小题纠偏1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则BAC_.答案：1302若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的
3、_解析：如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.答案：北偏西15典例引领如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析：由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m)在RtBCD中，CDBCtan 30300100 (m)答案：100由题悟法求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在
4、铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题即时应用为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得BDC60，BCD75，CD40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30，且CE1 m，则发射塔高AB为_m.解析：如图，过点E作EFAB，垂足为F，则EFBC，BFCE1，AEF30.在BCD中，由正弦定理得，BC2
5、0，所以EF20.在RtAFE中，AFEFtanAEF2020，所以ABAFBF(201)m.答案：(201)锁定考向研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达 题点全练角度一：两点都不可到达1(2017宁波期中)如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20 m，DAB75，CAB30，ABBC，ABD60.则C，D两点之间的距离为_m.解析：在RtABC中，BCABt
6、anCAB20tan 3020.在ABD中，ADB180DABABD45.由正弦定理可得：，BD10(3)(m)在BCD中，由余弦定理可得：DC2202100(3)222010(3)cos 301 000.解得DC10(m)答案：10角度二：两点不相通的距离2如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，则A，B两点的距离为_m.解析：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600c
7、os 60280 000.AB200 (m)即A，B两点间的距离为200 m.答案：200 角度三：两点间可视但有一点不可到达3如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_m.解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，所以AB20(m)即A，B两点间的距离为20 m.答案：20通法在握求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定
8、所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理演练冲关1(2018湖州模拟)从点A观察一轮船，开始轮船位于点A北偏东60的方向上，过45分钟后发现轮船位于点A北偏东30方向上，再过15分钟后发现轮船位于点A的正北方向，已知轮船一直是直线航行的，则当轮船位于点A的正西方向时，需再用的时间为()A45分钟B1小时C1.5小时 D2小时解析：选D建立如图所示的坐标系，则DAC30，DAB60，BC3CD，AB3AD，设D(0,1)，则B，直线DB的方程为yx1，AE3，DE2，BD，DE2
9、BD，再过2小时，轮船位于点A的正西方向故选D.2一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 km B30 kmC45 km D60 km解析：选B如图所示，依题意有AB15460，DAC60，CBM15，MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30，故选B.典例引领已知岛A南偏西38方向，距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时
10、能截住该走私船？解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x n mile，则BC0.5x，AC5，依题意，BAC1803822120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理，得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船由题悟法解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题
11、意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点即时应用(2018宁波期末)某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD，在D点测得B，C两点的视角BDC60，如图所示，记CBD，如何设计，使得飞机跑道AD最长？解：在BCD中，BC1，BDC60，CBD，由正弦定理知，所以BDcos sin ，在ABD中，AB1，ABD60，由余弦定理知AD2AB2BD22ABBDcos(60)，AD2122211sin2sin cos sin(230
12、)当23090，即60时，跑道AD最长一抓基础，多练小题做到眼疾手快1如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5 m B15 mC5 m D15 m解析：选D在BCD中，CBD180153
13、0135.由正弦定理得，解得BC15(m)在RtABC中，ABBCtanACB1515(m)3一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距灯塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为_n mile/h.解析：如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，MN6834 n mile.又由M到N所用的时间为14104 h，此船的航行速度v n mile/h.答案：4已知A船在灯塔C北偏东80处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为_ km.解析：由条件知，ACB80401
14、20，设BCx km则由余弦定理知9x244xcos 120，x0，x1.答案：15某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km.解析：如题图，由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3(km)答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70
15、，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 海里B10 海里C20 海里 D20 海里解析：选A如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)2如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h解析：选B设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而c
16、os ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.3如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：选Ctan 15tan (6045)2，BC60tan 6060tan 15120(1)(m)，故选C.4一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D
17、150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.5(2018厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A. B.C. D.解析：选D由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20.则cos A0，0A，0A.又a为最大边，A.因此角A的取值范围是.
18、6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分钟解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(海里/分钟)答案：7如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C.测量得到：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A，B两点之间的距离为_.解析：依题意
19、知，在ACD中，DAC30，由正弦定理得AC2.在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB10，解得AB.答案：8如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为_m.解析：设该扇形的半径为r(m)，连接CO，如图所示由题意，得CD150(m)，OD100(m)，CDO60，在CDO中，由余弦定理，得CD2OD22CDODcos 60
20、OC2，即150210022150100r2，解得r50(m)答案：509已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在RtAMP中，APM30，AM100，PM100.连接QM(图略)，在PQM中，QPM60，PQ100，PQM为等边三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBN
21、Q中，tan 2，BN200，BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.10(2018哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60方向，仰角为60，B救援中心测得飞船位于其南偏西30方向，仰角为30，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)求D救援中心与着陆
22、点A间的距离解：(1)由题意知PAAC，PAAB，则PAC，PAB均为直角三角形在RtPAC中，PA1，PCA60，解得AC，在RtPAB中，PA1，PBA30，解得AB，又CAB90，BC万米(2)sin ACDsin ACB，cosACD，又CAD30，所以sinADCsin(30ACD)，在ADC中，由正弦定理，得AD万米三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为和90.后退l m至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为_m；旗杆BA的高为_m(用含有l和
23、的式子表示)解析：在RtBCP1中，BP1C，在RtP2BC中，P2.BP1CP1BP2P2，P1BP2，即P1BP2为等腰三角形，BP1P1P2l，BClsin .在RtACP1中，tan(90)，AC，则BAACBClsin .答案：lsin 2(2018杭州模拟)如图所示，某镇有一块空地OAB，其中OA3 km，OB3 km，AOB90.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上，且MON30，挖出泥土堆放在OAM地带上形成假山，剩下的OBN地带开设儿童游乐场为安全起见，需在OAN的一周安装防护网(1)当AM km时，求防护网的总长度；
24、(2)为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN的面积最小？最小面积是多少？解：(1)OA3 km，OB3 km，AOB90，A60，AB6 km.在OAM中，由余弦定理得：OM2OA2AM22OAAMcos A.OM km.由正弦定理得：，即，sinAOM.AOM30.AONAOMMON60.OAN是等边三角形OAN的周长l3OA9.防护网的总长度为9 km.(2)设AOM(060)，则AON30，OMA120，ONA90.在OAM中，由正弦定理得，即.OM，在AON中，由正弦定理得，即，ON，SOMNOMONsinMON.当且仅当26090，即15，OMN
25、的面积取最小值为km2.命题点一简单的三角恒等变换1(2018全国卷)若sin ，则cos 2()ABCD解析：选Bsin ，cos 212sin2122.故选B.2(2016全国卷)若cos，则sin 2()A BCD解析：选D因为cos，所以sin 2coscos2cos2121.3(2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.解析：sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin().答案：4(2016全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.解析：由题意知sin，是
26、第四象限角，所以cos0，所以cos .tantan.答案：5(2017江苏高考)若tan，则tan _.解析：tan tan.答案：6(2018江苏高考)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值解：(1)因为tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，所以cos 22cos21.(2)因为， 为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以sin()，所以tan()2.因为tan ，所以 tan 2.所以tan()tan2().命题点二解三角形1(2018全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4 BCD2解析：选
27、Acos，cos C2cos21221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，AB4.2(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B.C. D.解析：选CSabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.C(0，)，C.3(2018北京高考)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_解析：由余弦定理得cos B，a2c2b22accos B.又S(a2c2b2)，acsin B2accos B，tan B，B，B.又C为钝角，CA，0A.由正弦定理得
28、.0tan A，2，即的取值范围是(2，)答案：(2，)4(2018浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.解析：由正弦定理，得sin Bsin A.由余弦定理a2b2c22bccos A，得74c24ccos 60，即c22c30，解得c3或c1(舍去)答案：35(2017浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.解析：在ABC中，ABAC4，BC2，由余弦定理得cosABC，则sinABCsinCBD，所以SBDCBDBCsinCBD22.因为BDBC
29、2，所以BDCABC，则cosBDC .答案：6(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解：(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题设得bcsin A，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故ABC的周长为3.7(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，A
30、B2，BD5.(1)求cos ADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理，得，即，所以sin ADB.由题设知，ADB90，所以cos ADB .(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB.在BCD中，由余弦定理，得BC2BD2DC22BDDCcos BDC25825225，所以BC5.8(2016浙江高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小解：(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin
31、 Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S得absin C，故有sin Bsin Csin A sin 2Bsin Bcos B.因为 sin B0，所以 sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.命题点三三角函数与解三角形的综合问题1(2018北京高考)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高解：(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以
32、0A.所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.2(2018天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又因为bsin Aacos，所以asin Bacos，即sin Bcos Bsin B，所以tan B.因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aaco
33、s，可得sin A.因为ac，所以cos A.所以sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.3(2015山东高考)设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解：(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.