1、54函数的奇偶性新课程标准解读核心素养结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义数学抽象、直观想象、数学运算在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影问题(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“部分”对称？(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？知识点函数的奇偶性设函数yf(x)的定义域为A.(1)如果对于任意的xA，都有xA，并且f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数；(2)如果对于任意的xA，都有xA，并且f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数；(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(
2、x)具有奇偶性；(4)根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称1奇、偶函数定义域的特点由于f(x)和f(x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称2奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性上述结论可简记为“奇同偶异”；(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数如果定义域内存在x0，满足f(x0)f(x0)，函数f(x)
3、是偶函数吗？提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立1下列函数是偶函数的是_(填序号)yx；y2x23；y；yx2，x0，1答案：2下列图象表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)解析：关于y轴对称是偶函数，关于原点对称是奇函数答案：3下列说法正确的是_(填序号)偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；函数f(x)x2，x1，2是偶函数；若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.答案：4若函数yf(x)，x1，a是奇函数，则a_答案：15若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)2，则f(3)_，f(0)_解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f
4、(3)f(3)2，f(0)0.答案：20判断函数的奇偶性例1(链接教科书第117页例1)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x) ；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(
5、x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数例2 (1)已知函数f(x)，xR，若对于任意实数a，b都有f(ab)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数；(2)若f(x)x2(x0，aR)，判断其奇偶性解(1)证明：令a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0.令ax，bx，则f(0)f(x)f(x), f(x)f(x)，又f(x)定义域为R关于原点对称，f(x)是奇函数(2)当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，则函数f(x)为偶函数；当a0时，f(x)x2(x0)，取x1，得f(1)1a，取x
6、1，得f(1)1a，则f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数综上所述，当a0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a0时，函数f(x)为偶函数判断函数奇偶性的方法(1)定义法根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下：判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步；验证：f(x)f(x)或f(x)f(x)；下结论：若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(
7、2)图象法若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数；若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数；若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数；若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 跟踪训练1已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且它们都恒不为0，则f(x)g(x)()A是奇函数B是偶函数C既不是奇函数也不是偶函数D
8、奇偶性不能确定解析：选A令F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，F(x)是奇函数，即f(x)g(x)是奇函数故选A.2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)；(3)f(x)|xa|xa|(aR)解：(1)xR，关于原点对称，又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)为偶函数(2)f(x)的定义域为1，0)(0，1，关于原点对称，又f(x)f(x)f(x)为奇函数(3)函数的定义域为(，)，关于原点对称当a0时，f(x)|xa|xa|xa|xa|(|xa|xa|)f(x)，所以函数f(x)为奇函数；当a0时，函
9、数f(x)|xa|xa|x|x|0，此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数综上所述，当a0时，函数f(x)为奇函数；当a0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.利用函数的奇偶性求参数例3(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1，2a，则a_，b_；(2)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_解析(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.(2)由奇函数定义有f(x)f(x)0，得a(x)22(x)ax22x2ax20，故a0.答案(1)0(2)0利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含
10、参数：奇偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数；(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解跟踪训练1设函数f(x)为奇函数，则a_解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即.显然x0，整理得x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.答案：12已知函数f(x)是奇函数，则a_.解析：因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，即(a1)(11)0，故a1.答案：1利用函数的奇偶性求解析式例4(链接教科书第119页习题7题)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x3，求f(x)的解析式
11、解当x0时，f(0)0.当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3.即当x0时，f(x)x22x3.故f(x)母题探究1(变设问)本例条件不变，求f(2)的值解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2)f(2)(22223)3.2(变条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x0时，f(x)的解析式解：当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于f(x)是偶函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3，即当x0时，f(x)x22x3.利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间
12、上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)跟踪训练设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)2xx2，求函数f(x)，g(x)的解析式解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x)2xx2.用x代替x得f(x)g(x)2x(x)2，所以f(x)g(x)2xx2，()2，得f(x)x2.()2，得g(x)2x.函数单调性与奇偶性的综合例5(1)已知函数yf(x)在定义域1，1上是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(1a)0，求
13、实数a的取值范围；(2)定义在2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解(1)由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1，1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)f(a1)又f(x)在1，1上单调递减，解得0af(x2)或f(x1)f(10) Bf(1)f(10)Cf(1)f(10) Df(1)和f(10)关系不定解析：选Af(x)是偶函数，f(10)f(10)又f(x)在0，)上单调递减，且1f(10)，即f(1)f(10)3已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(4，4)，且在(4，0上的图象如图所示，
14、则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_解析：设h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，补全f(x)，g(x)的图象(图略)，由图象可知：当4x0，g(x)0，此时h(x)0；当0x2时，f(x)0，此时h(x)0，h(x)0的解集为(4，2)(0，2)答案：(4，2)(0，2)1函数f(x)x的图象()A关于y轴对称 B关于直线yx对称C关于原点对称 D关于直线yx对称解析：选Cf(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，且f(x)(x)xf(x)，f(x)是奇函数，图象关于原点对称2(多选)下列函数是偶函数的有()Ayx21
15、 By2xCy Dy|x1|x1|解析：选ABD选项C，定义域为1，不关于原点对称，是非奇非偶函数，其他函数都满足偶函数的要求，故选A、B、D.3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_解析：由已知得，f(2)2(2)3(2)212，又函数f(x)是奇函数，所以f(2)f(2)12.答案：124若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是增函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是_解析：函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0上是增函数，所以f(x)在(0，)上是减函数，又因为f(2)0，所以f(x)0f(|x|)2，所以x2或x2.答案：(，2)(2，)5已知函数f(x)，xR，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数证明：令x10，x2x，则f(x)f(x)2f(0)f(x)，令x20，x1x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)由得f(x)f(x)又f(x)定义域为R关于原点对称，f(x)是偶函数