1、53函数的单调性新课程标准解读核心素养借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义直观想象、数学运算、逻辑推理第一课时函数的单调性我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为yf(x)问题这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？知识点一增函数、减函数的概念设函数yf(x)的定义域为A，区间
2、IA.(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么称yf(x)在区间I上是增函数(图)，I称为yf(x)的增区间；(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么称yf(x)在区间I上是减函数(图)，I称为yf(x)的减区间对函数单调性的再理解(1)并非所有的函数都具有单调性如函数f(x)它的定义域为R，但不具有单调性；(2)函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数如函数y(x0)在区间(，0)和(0，)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性；(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区
3、间时，不能用“”连接，而应该用“和”或“，”连接如函数y(x0)在区间(，0)和(0，)上都是减函数，不能认为y(x0)的单调减区间为(，0)(0，)；(4)函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点1下列命题中真命题的个数为()定义在(a，b)上的函数f(x)，如果x1，x2(a，b)，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上单调递增；x1，x2(a，b)，且x1x2，当0时，f(x)在
4、(a，b)上单调递增；x1，x2(a，b)，且x1x2，f(x1)f(x2)成立，则函数f(x)在(a，b)上不是单调递增的A1 B2C3 D4解析：选C是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；0等价于f(x1)f(x2)(x1x2)0，而此式又等价于或即或f(x)在(a，b)上单调递减，是真命题，同理可得也是真命题若要说明函数f(x)在某个区间上不是单调递增(减)的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1x2时，f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)成立即可，故是真命题2下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是_
5、(填序号)f(x)x2; f(x)；f(x)|x|; f(x)2x1.答案：知识点二函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数yf(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间函数的单调性刻画了函数在不同的定义域的子集中变化趋势可能不同，单调区间必须是定义域的子集1.函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是_答案：3，12函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案：(，13若y(2k1)xb是R上的减函数，则k的取值范围为_，b的取值范围为_答案：R4函数f(x)的单调增区间是_答案：R函数单调性的判定与证明例1(链接教科书第111页例2)求证：函
6、数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数利用定义证明函数单调性的4个步骤跟踪训练1(多选)下列函数在(，0)上为增函数的是()Ay|x|1 ByCy Dyx解析：选CDy|x|1x1(x0)在(，0)上为减函数；y1(x0)在(，0)上既不是
7、增函数也不是减函数；yx(x0)在(，0)上是增函数；yxx1(x0)在(，0)上也是增函数，故选C、D.2(2021盐城中学月考)用定义判断函数f(x)(a)在(2，)上的单调性解：函数f(x)a，任取x1，x2(2，)，且x1x2.则f(x1)f(x2).2x10，(x12)(x22)0，当12a0，即a0，即f(x1)f(x2)，f(x)是减函数；当12a时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)是增函数，当a时，f(x)在(2，) 上为增函数.求函数的单调区间例2(链接教科书第111页例1)画出函数yx22|x|3的图象，并指出函数的单调区间解yx22|x|3函数图象
8、如图所示函数在(，1，0，1上是增函数，函数在1，0，1，)上是减函数所以函数的单调增区间是(，1和0，1，单调减区间是(1，0)和(1，)母题探究(变条件)将本例中“yx22|x|3”改为“y|x22x3|”，如何求解？解：函数y|x22x3|的图象如图所示由图象可知其单调递增区间为1，1，3，)；单调递减区间为(，1)，(1，3)求函数单调区间的2种方法(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间跟踪训练1如图所示为函数yf(x)，x4，7的图象，则函数f(x)的单调递增区间是_解析：由图象知单调递增区间为1.5，3和5，6答案：1
9、.5，3和5，62求函数f(x)的单调减区间解：函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，设x1，x2(，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，x110，x210，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，)上单调递减综上，函数f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，).函数单调性的应用例3(1)若函数f(x)x22(a1)x3在区间(，3上是增函数，则实数a的取值范围是_；(2)已知函数yf(x)是(，)上的增函数，且f(2x3)f(5x6)，则实数x的取值范围为_解析(1)f(x)x22(a1)x3的开口向下，要使f(x)在(，3
10、上是增函数，只需(a1)3，即a4.实数a的取值范围为(，4(2)f(x)在(，)上是增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x.x的取值范围为.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围；(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的跟踪训练1若函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有(x1x2)f(x1)f(x2)0成立，则实数a的取值范围是()A. BC1，2 D1，)解析：选C因为函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有(x1x2)f
11、(x1)f(x2)0成立，所以函数f(x)在(，)上是增函数，即解得1a2.所以实数a的取值范围是1，2故选C.2已知符号函数sgn xf(x)是R上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a1)，则()Asgn g(x)sgn xBsgn g(x)sgn xCsgn g(x)sgn f(x)Dsgn g(x)sgn f(x)解析：选B因为f(x)是R上的增函数，且a1，所以当x0时，f(x)f(ax)，即g(x)0；当x0时，f(x)f(ax)，即g(x)0；当xf(ax)，即g(x)0.由符号函数sgn x知sgn g(x)sgn x.复合函数yf(g(x)的单调性典例已知函数f(x)，x2
12、，6(1)试判断此函数在x2，6上的单调性；(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤解(1)函数f(x)可分解为函数y和函数ux1.因为x2，6，所以u1，5，显然函数ux1在x2，6上单调递增，函数y在u1，5上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)在x2，6上单调递减(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性结论一般地，对于复合函数yf(g(x)，单调性如表所示，简记为“同增异减”.g(x)f(x)f(g(x)增增增增减减减增减减减增迁移应用求函数f(x)的单调区间解：由题意可知82xx20，解得4x2，函数
13、f(x)的定义域为4，2设y，u82xx2.二次函数u82xx2(x1)29的单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，)函数yf(x)的单调递增区间是4，1，单调递减区间是(1，21如图是函数yf(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A1 B2C3 D4解析：选B由图象，可知函数yf(x)的单调递减区间有2个故选B.2(多选)下列函数在区间(0，)上是减函数的是()Ayx21 ByCy Dy|x|解析：选AD对于选项A，yx21为二次函数且在区间(0，)上是减函数；选项B，y在区间(0，)上是增函数；选项C，y在(0，)上是增函数；选项D，y|x|在区间(0，)上是减函数3函数y(x3)|x|的单调递增区间为_解析：y(x3)|x|作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为.答案：4如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)x2(a1)x5的对称轴为x且在区间上是增函数，即a2.答案：(，25证明函数f(x)x在(0，1)上是减函数证明：设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).0x1x21，x1x20，0x1x21，则1x1x20，即f(x1)f(x2)，f(x)x在(0，1)上是减函数