1、课时作业梯级练五十五椭圆一、选择题(每小题5分，共25分)1过椭圆4x2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()A2 B4 C8 D2【解析】选B.因为椭圆方程可以变形为1，所以椭圆长轴长2a2，所以ABF2的周长为4a4.2在ABC中，A(4，0)，B(4，0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A1(y0) B1(y0)C1(y0) D1(y0)【解析】选A.由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).设其方程为1(ab0)，则a5，c4，从而b3. 由A，B，C不共线知y
2、0.故顶点C的轨迹方程是1(y0).3椭圆ax2by21(a0，b0)与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A B C D【解析】选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知：(ab)x22bxb10，x1x2.设线段AB中点为C，则xC.将xC代入y1x得到yC.因为kOC，故.【秒杀绝招】因为(1)，所以，所以.4.设椭圆C的左、右焦点为F1,F2,过点F1的直线与椭圆C交于点P,Q,若PF1F2是以PF1为底的等腰三角形,且|PF1|=|QF1|,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.根据题意,作图如图所示,由|PF2|=2c,
3、得|PF1|=2a-2c,|QF1|=,|PQ|=,|QF2|=,由cosF2PQ=cosF2PF1,即=,整理得7c2-12ac+5a2=0,则(5a-7c)(a-c)=0,得e=.5.(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.如图,由已知可设=n,则=2n,=3n,由椭圆的定义有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在AF1B中,由余弦定理推论得cosF1AB=.在AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-22
4、n2n=4,解得n=.所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为+=1,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设点F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点P为椭圆上一点,点M是F1P的中点,OM=3,则点P到椭圆左焦点的距离为.【解析】由题意知OM=PF2=3,所以PF2=6,所以PF1=25-6=4.答案:47(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_.【解析】已知椭圆C：1可知，a6，c4，由M为C上一点且在第一象限，故等腰MF1F2中，MF1F1F28，MF22a
5、MF14，sinF1F2M，yMMF2sin F1F2M，代入C：1可得xM3.故M的坐标为(3，).答案：(3，)8.点P是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且PF1F2的内切圆半径为1,当P在第一象限时,P点的纵坐标为.【解析】PF1+PF2=10,F1F2=6,=(PF1+PF2+F1F2)1=8=F1F2yP=3yP,所以yP=.答案:三、解答题(每小题10分，共20分)9已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(3，0).(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求F1PF2的面积【解析】(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意得因此
6、a5，b4，所以椭圆的标准方程为1.(2)易知|yP|4，又c3，所以SF1PF2|yP|2c4612.10已知焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，(1)求的取值范围(2)求的最大值和最小值【解析】(1) 由题意知a2，因为e，所以c1，所以b2a2c23，所以椭圆方程为1.所以左焦点F(1，0).设P点坐标为(x0，y0).则2x02.，因为2x046，所以，所以的取值范围为.(2)因为F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),所以=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.当x0=2时,取得最小值0,当
7、x0=-2时,取得最大值4.1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A1 By21C1 D1【解析】选A.由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，所以c1，所以b22，所以椭圆C的方程为1.2已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()A BC D【解析】选C.如图所示，因为线段PF1的中垂线经过F2，所以|PF2|F1F2|2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|2c.所以ac2cac.所以e.3.
8、(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,点P在椭圆C上,O是坐标原点,若|OP|=|OF|,则OPF的面积是.【解析】由椭圆C的方程+y2=1,可得:c2=a2-b2=4-1=3,F(,0),如图所示,设P(x,y),因为P在椭圆C上,并且|OP|=|OF|,所以点P的坐标满足,消去x得y2=,所以|y|=,所以OPF的面积S=|OF|y|=.答案:4设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21(a1，aR)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点(1)若FAB的面积的最大值为1，求a的值；(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于，求椭圆C的离心率【解析】(1)SFAB|OF|yAyB
9、|OF|1，所以a.(2)由题意可设A(x0，y0)，B(x0，y0)，M(x，y)，则y21，y1，kMAkMB，所以a23，所以a，所以c ，所以椭圆的离心率e.5已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值【解析】(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2).由得4x26mx3m230，所以x1x2，x1x2.所以|AB|.当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.【加练备选拔高】顺次连接椭圆C: =1(
10、ab0)的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形.(1)求椭圆C的方程;(2)过点Q(0,-2)的直线l与椭圆C交于A,B两点,kOAkOB=-1,其中O为坐标原点,求|AB|.【解析】(1)由题可知2ab2，a2b23，且ab0，解得a，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l斜率不存在时，明显不符合题意，故设l的方程为ykx2，将其代入方程y21整理得(12k2)x28kx60.由64k224(2k21)0，解得k2，所以x1x2，x1x2.kOAkOB1，解得k25.所以|AB|.1斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B C D【解析】选C.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.所以|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.2椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_【解析】因为直线y(xc)过点F1(c，0)，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.答案：1
