1、第5讲简单的三角恒等变换1两角和与差的正弦、余弦和正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin 22sin cos 续表公式名公式二倍角的余弦cos 2cos2sin212sin22cos21二倍角的正切tan21公式的常用变式：tantan tan ()(1tan tan )；tan tan 11.2降幂公式：sin2；cos2；sin cos sin 2.3升幂公式：1cos 2cos2；1cos2sin2；1sin；1sin .4常用拆角、拼角技巧：例如，2()()；()()；(2)()；()()；等5辅助角公式：一般地，函数f()a sin b cos (a，b为
2、常数)可以化为f()sin ()或f()cos ().1(2021全国乙卷)cos2cos2()A B C D答案D解析cos2cos2cos2cos2cos2sin2cos.故选D.2若cos ，则sin 2()A BC D答案D解析sin 2cos cos 2cos2121.故选D.3若角满足sin2cos 0，则tan 2()A B C D答案D解析由题意知，tan 2，所以tan 2.故选D.4(2022辽宁鞍山入学考试)log2(sin 15sin 75)的值为 答案2解析log2(sin 15sin 75)log2(sin 15cos 15)log2log22.5(2020北京高考
3、)若函数f(x)sin (x)cos x的最大值为2，则常数的一个取值为 答案解析因为f(x)cos sin x(sin 1)cos xsin (x)，所以2，解得sin 1，故可取.6若tan ，tan ()，则tan 答案解析tan tan ().考向一三角函数的化简例1(1)已知0，则 答案cos 解析由(0，)得00，所以 2cos.又(1sin cos )2cos 2coscos .故原式cos .(2)化简：tan 答案解析原式1.(3)化简：2cos ().解原式.三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值
4、，减少角的个数(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次1.化简： 答案2cos 解析原式2cos .2化简： 答案解析原式tan(902).精准设计考向，多角度探究突破考向二三角函数的求值角度给值求值例2(1)(2021湖北襄阳调研)已知sin xcos x，则cos ()A B C D答案B解析由sin xcos x，得2sin ，则cos cos sin .故选B.(2)(2021全国甲卷)若，tan 2，则tan ()A B C D答案A解析解法一：因为tan 2，且tan2，所
5、以，解得sin .因为，所以cos ，tan .故选A.解法二：因为tan 2，且tan2，所以，解得sin ，因为，所以cos ，tan .故选A.(3)已知是第四象限角，且sin cos ，则tan 答案解析因为sin cos ，是第四象限角，所以sin ，cos ，则tan .给值求值问题的一般步骤(1)化简条件式子或待求式子；(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值3.(2020江苏高考)已知sin2，则sin2的值是 答案解析sin2(1sin 2)，(1sin 2)，sin 2.4已知，tan ()，则tan 答案解析由已知得，即，
6、于是sincos ，故tan 1，于是tan tan ().角度给角求值例3(1)()A1 B C D2答案C解析原式.故选C.(2)(2021浙江温州模拟)tan70tan50tan70tan50的值为()A B C D答案D解析因为tan120，所以tan70tan50tan70tan50.故选D.给角求值问题的技巧该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值5.(2022江西九江模拟)()A2 B C1 D1答案C解析1.故选C.6.64sin220 答案32解析因为32cos 40，所以64sin22032
7、cos4064(1cos 40)32.角度给值求角例4(1)(2021湖北八校联考)若sin 2，sin ()，且，则的值是()A BC或 D或答案A解析因为，所以2，又因为sin 2，所以2，所以cos 2.又因为，所以，故cos ()，所以cos ()cos 2()cos 2cos ()sin 2sin ()，又因为，故.故选A.(2)已知，(0，)，且tan ()，tan ，则2的值为 答案解析tan tan ()0，00，02，tan (2)1.tan 0，20，2.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则(1)已知正切函数值，则选正切函数(2)已知正、余弦函数值，则选
8、正弦或余弦函数若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好7.(2022安徽马鞍山模拟)已知锐角的终边上一点P(sin40，1cos40)，则等于()A10 B20 C70 D80答案C解析由题意，得tan tan70.又为锐角，70.故选C.8已知cos ，cos ()，且0，则的值为 答案解析0，0.又cos ()，sin ().cos ，0，sin ，cos cos ()cos cos ()sin sin ().0，.考向三三角恒等变换的综合应用例5已知函数f(x)2sin2.(1)若f(x)，求sin2x的值；(2)求函数F
9、(x)f(x)f(x)f(x)2的最大值与单调递增区间解(1)由题意知f(x)1sin x(1cos x)sin xcos x，又f(x)，sin xcos x，sin 2x1，sin 2x.(2)F(x)(sin xcos x)sin (x)cos (x)(sin xcos x)2cos2xsin2x1sin2xcos 2xsin 2x1sin 1，当sin 1时，F(x)取得最大值，即F(x)max1.令2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)，从而函数F(x)的最大值为1，单调递增区间为(kZ).三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系
10、；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如ya sin xb cos x化为ysin (x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.9.(2021湖南株洲高三质检)已知函数f(x)4tan xsincos .(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan x cos x cos 4sin x cos 4sin x2sin x cos x2sin2xsin2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin .所以f(x)的最小正周期为T.(2)因为x，所以2x，由ysin x的图象可知，当2x，即x时，f(x)单调递
11、减；当2x，即x时，f(x)单调递增所以当x时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增自主培优(六) 拼凑法在三角恒等变换中的妙用1(2022四川成都诊断考试)已知sin 2sin 3x cos ，则cos ()A B C D答案B解析因为sin sin sin 3x cos cos 3x sin ，所以sin 2sin 3x cos sin 3x cos cos 3x sin ，整理得sin ，即sin ，所以cos cos cos 2sin21.故选B.2(2021甘肃兰州模拟) 答案4解析原式4.角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差、倍半、互余、互
12、补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决1若sin2cos sin ，则()A B C2 D4答案B解析sin 2cos sin ，sin cos cos sin 2cos sin ，即sin cos 3cos sin ，tan 3tan ，则.故选B.22sin50sin10(1tan10) 答案解析原式cos102sin50cos10sin10cos(6010)2sin(5010)2.14cos50tan40()A BC D21答案C解析原式4sin40.故选C.2函数ycos2sin2的最小正周期为()A2 B C D答案B解析ycos
13、2sin2cossin 2x，函数的最小正周期为.故选B.3函数f(x)2sin x cos x2cos2x1的图象的对称轴方程可能为()Ax BxCx Dx答案A解析f(x)2sinx cos x2cos2x1sin2xcos 2xsin ，令2xk(kZ)，解得x(kZ)，当k0时，x.故选A.4(2022陕西榆林模拟)若，都是锐角，且cos ，sin ()，则cos ()A BC或 D或答案A解析因为，都是锐角，且cos ，所以sin ，又sin()sin ，所以，所以cos ()，所以coscos ()cos ()cos sin()sin .故选A.5设a(1)0，bcos ，c，则a
14、，b，c的大小关系是()Abca BcabCcba Dabc答案C解析因为a(1)01，bcoscos1(0，1)，ctan0，所以cba.故选C.6在ABC中，tan Atan Btan A tan B，则C等于()A B C D答案A解析由已知得tan Atan B(1tan A tan B)，即tan (AB).又tan Ctan (AB)tan (AB)，0C，C.故选A.7(2022吉林长春高三上质量监测(一)已知，sin cos ，则sin ()A BC D答案B解析由sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin ，又因为0，所以0)恰有三个公共点
15、，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则()A2 B2 C1 D1答案D解析由题意得，f(x)sin 2x，则f(x)2cos 2x，易知直线axy0(a0)过定点(0，0)，如图，由f(x)图象的对称性可知，直线与f(x)的图象切于另外两个点，x1x30，x20，则切线方程过点(x1，sin 2x1)，(0，0)，(x3，sin 2x3)，2cos 2x3，即sin 2x32x3cos 2x3，则tan 2x32x3，1.故选D.13(2020浙江高考)已知tan 2，则cos 2 ；tan 答案 解析cos 2cos2sin2，tan.14(2021河南郑州一模)若tan20m
16、sin20，则m的值为 答案4解析由于tan20msin20，可得m4.15(2022广西钦州月考)已知cos ，若x，则的值为 答案解析解法一：由x，得x2.又cos ，所以sin ，所以cos xcos cos cos sin sin ，从而sin x，tan x7.则.解法二：由解法一得tan .又sin 2xcos cos 22cos211，则sin 2xsin 2xtan .16(2022陕西汉中高三上第一次校际联考)已知函数f(x)sin x sin 的定义域为m，n(mn)，值域为，则nm的最小值是 答案解析由题意，知f(x)sin xsin2xsinx cos xsin 2xs
17、in 2xcos 2xsin .f(x)，sin ，2k2x2k(kZ)，若nm最小，则2m2k且2n2k(kZ)，(2n2m)min，(nm)min.17已知sin ()，sin ().(1)求的值；(2)若0，求cos 的值解(1)sin ()sin cos cos sin ，sin ()sin cos cos sin ，由得sin cos ，由得cos sin ，由得7.(2)0，sin ()，sin ()，0，0，cos ()，cos()，cos2cos ()()cos ()cos ()sin ()sin ()，cos 22cos21，cos.18(2021浙江高考)设函数f(x)si
18、n xcos x(xR).(1)求函数y的最小正周期；(2)求函数yf(x)f在上的最大值解(1)因为f(x)sin xcos x，所以fsin cos cos xsin x，所以y(cos xsin x)21sin 2x.所以函数y的最小正周期T.(2)因为fsin cos sin x，所以yf(x)fsin x(sin xcos x)(sin x cos xsin2x)sin .当x时，2x，所以当2x，即x时，函数yf(x)f在上取得最大值，且最大值为1.19(2022安徽合肥模拟)已知函数f(x)sin (x)的最小正周期为，且cos 2cos 0.(1)求和f的值；(2)若f(0)，
19、求sin .解(1)函数f(x)sin (x)的最小正周期为，2.cos 2cos 2cos21cos0，cos 1(舍去)或cos ，故f(x)sin ，故fsin .(2)0，.又fsin 0)，x1，x2是函数f(x)的零点，且|x2x1|的最小值为.(1)求的值；(2)设，若f，f，求cos()的值解(1)f(x)sin x cos xcos2xsin2xsin 2xcos 2xsin ，|x2x1|的最小值为，即T，1.(2)由(1)知f(x)sin ，fsin sin cos.fsin sin ()sin ，sin ，又，sin ，cos ，cos ()cos cos sin sin .