1、课时作业梯级练五十直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一、选择题(每小题5分,共35分)1.若是直线l的倾斜角,且sin +cos = ,则l的斜率为()A.- B.- 或-2C. 或2D.-2【解析】选D.因为sin +cos = ,所以(sin +cos )2=1+2sin cos = ,所以2sincos =- ,所以(sin -cos )2= ,易知sin 0,cos 0,所以sin -cos = ,由解得 所以tan =-2,即l的斜率为-2.2.已知直线l经过两点O(0,0),A(1, ),直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是()A.- B.- C. D. 【解析】选
2、A.依题意kOA= = ,所以直线l的倾斜角为 ,所以直线m的倾斜角为 ,所以直线m的斜率为tan =- .3.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1k2k3B.k2k1k3C.k3k2k1D.k1k3k2【解析】选A.由于直线l1的倾斜角为钝角,所以k1k20,所以k1k2-1.因为点P是曲线上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,所以tan -1.因为 ,所以 .7.已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在 内变动时,a的取值范围是()A. B. C. D. 【解析】选C.由直线方程l1:y=x,可得直线的倾斜角为=45
3、,又因为这两条直线的夹角在 内,所以直线l2:ax-y=0的倾斜角的取值范围是3060且45,所以直线l2的斜率a的取值范围为tan 30atan 60且atan 45,即 a1或1a0,则 + 的最小值为.【解析】因为f =ax+2a-1=a -1,所以函数y=f 的图象恒过定点A ,由于点A 在直线mx+ny+1=0上,则-2m-n+1=0,则2m+n=1,因为mn0,则 0,所以 + = = + +42 +4=8,当且仅当n=2m,即n= ,m= 时,等号成立,因此, + 的最小值为8.答案:810.将直线y=x+ -1绕它上面一点(1, )沿逆时针方向旋转15,所得到的直线方程是.【解
4、析】由y=x+ -1得直线的斜率为1,倾斜角为45.因为沿逆时针方向旋转15,角变为60,所以所求直线的斜率为 .又因为直线过点(1, ),所以直线方程为y- = (x-1),即y= x.答案:y= x 1.(5分)已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点,这个定点的坐标为()A. B. C. D. 【解析】选D.因为a+2b=1,所以a=1-2b.因为直线ax+3y+b=0,所以(1-2b)x+3y+b=0,即b(1-2x)+(x+3y)=0.因为 所以 所以直线必过点 .【解题反思】求定点定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
5、(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.【加练备选拔高】已知直线kx-y+2-4k=0,当k变化时,所有的直线恒过定点()A. B. C. D. 【解析】选B.直线kx-y+2-4k=0整理可知y=k +2,故必过定点 .2.(5分)设直线l的方程为x+ycos +3=0(R),则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,)B. C. D. 【解析】选C.当cos =0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为 ;当cos 0时,由直线l的方程,可得斜率k=- .因为cos -1,1且cos 0,所以k(-,-11,+),即tan (-,-11,+),又0,),所以 ,综上知,直
6、线l的倾斜角的取值范围是 .3.(5分)过点P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有条()A.4B.5C.6D.7【解析】选D.当截距为0时,是直线OP,只有1条,当截距大于0时,设截距分别为a,b,则直线方程为 + =1,因为直线过点P ,所以 + =1,因为a0,b0,所以 0, 0,结合可得, 1, 3,b4,又因为a,b为整数所以a4,b5,由解得b= =4+ ,a-3为12的因数,所以a-3=1,2,3,4,6,12,对应a=4,5,6,7,9,15,相应b=16,10,8,7,6,5,对应的直线有6条,综上所述,满足题意的直线共有7条.【加练备选拔高】1.(2021西安模拟)已知
7、直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是()A.0B.2C. D.1【解析】选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和 ,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+ 2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.2.已知M ,N 为不同的两点,直线l:ax+by+c=0,= ,下列说法正确的有()不论为何值,点N都不在直线l上;若=1,则过点M,N的直线与直线l平行;若=-1,则直线l经过MN的中点;若1,则点M,N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交.A.1
8、个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.因为= 中,ax2+by2+c0,所以点N不在直线l上,故正确;当b0时,根据=1得到 =1,化简得 =- ,即直线MN的斜率为- ,又直线l的斜率为- ,由可知点N不在直线l上,得到直线MN与直线l平行,当b=0时,可得直线MN与直线l的斜率都不存在,也满足平行,故正确;当=-1时,得到 =-1,化简得a +b +c=0,而线段MN的中点坐标为 ,所以直线l经过MN的中点,故正确;当1时,得到 1,所以 0,即 0,所以点M,N在直线l的同侧且 ,可得点M与点N到直线l的距离不等,所以延长线与直线l相交,故正确.综上:说法正确的有4个.4.(10分)在
9、ABC中,点A ,B ,C .(1)若D为BC中点,求直线AD所在直线方程;(2)若D在线段BC上,且SABD=2SACD,求 .【解析】(1)因为D为BC中点,所以D ,直线AD的斜率k= =3,所以直线AD所在的直线方程为:y-4=3 ,即直线AD方程为y=3x-5.(2)因为SABD=2SACD,所以 =2 ,则 = ,又由 = + = + = + = ,所以 = = .5.(10分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.【解析】(1)直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则 解得k0,故k的取值范围是0,+).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为- ,在y轴上的截距为1+2k,所以A ,B(0,1+2k).又- 0,所以k0.故S= |OA|OB|= (1+2k)= (4+4)=4,当且仅当4k= ,即k= 时,取等号.故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.