1、第2讲函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值1对勾函数yx(a0)的增区间为(，和，)；减区间为，0)和(0，且对勾函数为奇函数2设x1，x2D(x1x2)，则(1)x1
2、x20(0(0(0)，f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递减；(2)0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递增；0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递减1下列函数f(x)中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)2x Bf(x)|x1|Cf(x)x Df(x)ln (x1)答案C解析由(x1x2)f(x1)f(x2)0可知，f(x)在(0，)上是减函数A，D中，f(x)为增函数；B中，f(x)|x1|在(0，)上不单调；C中，f(x)x，因为y与yx在(0，)上单调递减，因此f(x)在(0
3、，)上是减函数2函数f(x)|x23x2|的递增区间是()AB和2，)C(，1和D和2，)答案B解析y|x23x2|如图所示，函数的递增区间是和2，).故选B.3(2021安徽蚌埠第三次教学质量检测)已知alog31.5，blog0.50.1，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCbca Dcab答案B解析0log31log31.5log3，0alog0.50.51，b1，0.50.50.20.50，c1，acb，故选B.4设定义在1，7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的单调递增区间为 答案1，1和5，7解析结合图象易知函数yf(x)的单调递增区间为
4、1，1和5，7.5函数f(x)|x1|x2的值域为 答案解析因为f(x)|x1|x2所以f(x)作出函数图象如图，由图象知f(x)|x1|x2的值域为.6(2022陕西咸阳摸底)已知函数f(x)则f(f(3) ，f(x)的最小值是 答案023解析因为f(3)lg (3)21lg 101，所以f(f(3)f(1)1230.当x1时，x32323，当且仅当x，即x时等号成立，此时f(x)min230；当x0)在(0，)内的单调性解解法一：设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a).当0x1x2 时，0x1x2a.又x1x20，即f(x1)f(x2).所以函数f(
5、x)在(0， 上是减函数.当x1a.又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，得10，即x2a，解得x；由f(x)0，得10，即x2a，解得0x.所以f(x)在(0，)内为减函数，在(，)内为增函数.证明或判断函数单调性的方法(1)判断函数单调性的四种方法定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法.(2)证明函数在某区间上的单调性的两种方法定义法：基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断；可导函数可以利用导数证明(3)复合函数单调性的判断方法复合函数yf(g(x)的单调性，应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则1.试讨论函数f(x)(a
6、0)在(1，1)上的单调性.解解法一：设1x1x21，f(x)aa，则f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1，1)上单调递增考向二确定函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2).解(1)由于y即y画出函数图象如图所示由图象可知，函数的单调递增区间为(，1和0，1，单调递减区间为1，0和1，).(2)令ux23x
7、2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x2.函数ylog (x23x2)的定义域为(，1)(2，).又ux23x2的对称轴x，且开口向上，ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1).确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”(3)图象法，图象不连续的单调区间一般不能用“”连接.2.求出下列函数的单调区间：(1)f(x)|x24x3|；(2)f(x)
8、 .解(1)先作出函数yx24x3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y|x24x3|的图象如图所示由图可知f(x)在(，1和2，3上为减函数，在1，2和3，)上为增函数，故f(x)的增区间为1，2，3，)，减区间为(，1，2，3.(2)32xx20，3xf(b)f(c) Bf(b)f(c)f(a)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(a)f(b)答案D解析因为函数f(x)x2在(0，)上单调递增，而0loglog53log5412，所以f(b)f(a)0；当x(2，0)(2，)时，f(x)0的解集是 答案(，3)(1，)解析易知f(x)在R上是增函数，且f(x)
9、为奇函数由f(2x1)f(x24)0，得f(2x1)f(4x2)，所以2x14x2，解得x1或x0，解得m0.综上可得，m的取值范围是(0，1.故选D.(2)(2022河南商丘模拟)已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是 答案1，)解析解法一：设1x11.因为函数f(x)在(1，)上是增函数，所以f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.因为x1x20，即ax1x2.因为1x11，所以x1x2f(b)f(c) Bf(b)f(c)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(c)f(b)f(a)答案D解析因为a33.1301，0b1，cln ln 10，所以cbf(b)f(a).
10、4设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1，0) D(，0)答案D解析将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知解得x0，所以满足f(x1)0且a1)在R上单调递减，则a的取值范围是()A BC D答案C解析由分段函数f(x)在R上单调递减，可得0a0，(0，2)，1(1，3)，当f(x)(1，2)时，yf(x)1；当f(x)2，3)时，yf(x)2.函数yf(x)的值域是1，2故选D.(2)函数f(x)log2(x2)在区间1，1上的最大值为 答案3解析(单调性法)由于y在R上递减，ylog2(x2)在1，1上单调递增，所以f(x)在1，1上单调递
11、减，故f(x)在1，1上的最大值为f(1)3.(3)yx的值域为 答案解析(代数换元法)设t，t0，则y(t22)t，当t时，y有最小值，故所求函数的值域为.(4)函数f(x)3x，x1，2的值域为 答案5，7解析解法一：(基本不等式)f(x)3x，易证f(x)在上是增函数f(x)在1，2上为增函数，从而得值域为5，7.解法二：(导数法)f(x)3，当1x2时，f(x)0，f(x)在1，2上为增函数，又f(1)5，f(2)7.f(x)3x，x1，2的值域为5，7.函数值域的几种求解方法(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围求解(2)单调性法：
12、先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(3)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(6)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值6.若函数yf(x)的值域是，则函数F(x)f(x)的值域是()A B2，)C D答案B解析解法一：设f(x)t，则t，从而F(x)的值域就是函数yt，t的值域，由“对勾函数”的图象可知F(x)2.故选B.解法二：设f(x)t，则t，从而F(x)的值域就是
13、函数yt，t的值域由基本不等式，得t2，当且仅当t1时取等号所以F(x)2.故选B.7(2022山西晋中模拟)函数f(x)x2 的最大值为 答案2解析设 t(t0)，x1t2.yx21t22t(t1)22.当t1即x0时，ymax2.8函数f(x)的最大值为 答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解(1)令xy0得f(0)1.证明如下：在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x
14、1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x1，故原不等式的解集为x|x1对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小，或与1的大小有时根据需要，需作适当的变形，如x1x2x1x2或x1x2等深挖已知条件是求解此类题的关键已知函数f(x)的定义域是(0，)，且满足f(xy)f(x)f(y)，f1，如果对于0xf
15、(y)，则不等式f(x)f(3x)2的解集为()A1，0)(3，4 B1，4C(3，4 D1，0)答案D解析令x，y1，则有fff(1)，故f(1)0；令x，y2，则有f(1)ff(2)，解得f(2)1，令xy2，则有f(4)f(2)f(2)2.对于0xy，都有f(x)f(y)，函数f(x)是定义在(0，)上的减函数，故f(x)f(3x)2可化为f(x(3x)f(4)，故解得1x0.不等式f(x)f(3x)2的解集为1，0)，故选D.1(2021全国甲卷)下列函数中是增函数的为()Af(x)x Bf(x)Cf(x)x2 Df(x)答案D解析解法一：(排除法)取x11，x20，对于A，有f(x1
16、)1，f(x2)0，所以A不符合题意；对于B，有f(x1)，f(x2)1，所以B不符合题意；对于C，有f(x1)1，f(x2)0，所以C不符合题意故选D.解法二：(图象法)如图，在同一平面直角坐标系中分别作出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，由图可快速直观地判断D项符合题意故选D.2函数f(x)log0.5(x1)log0.5(x3)的单调递减区间是()A(3，) B(1，)C(，1) D(，1)答案A解析由已知易得即x3，又00.51，f(x)在(3，)上单调递减3(2021新高考卷)已知alog52，blog83，c，则下列判断正确的是()Acba BbacCacb Dabc答案C解
17、析alog52log5log82log83b，即ac0且a1)满足f(a1)f(a2)，则f(2x3)0的解集是()A(，2) BC D(2，)答案C解析因为函数f(x)logax(a0且a1)满足f(a1)f(a2)，所以0a1，则函数f(x)logax(0a0可化为02x31，求解可得x2，故选C.6函数y，x(m，n的最小值为0，则m的取值范围是()A(1，2) B(1，2)C1，2) D1，2)答案D解析函数y1，当x(1，)时，函数是减函数，又当x2时，y0，1mf(a22a3)Df(1)f(a22a3)答案D解析a22a3(a1)222，由偶函数f(x)在区间0，)上是增函数，可得
18、f(1)f(1)0时，f(x)的最小值为f(1)，当x0时，f(x)的最小值为f(0)，即解得0a2.10(2022西安模拟)已知函数f(x)2xlog3，若不等式f3成立，则实数m的取值范围是()A BC D(1，)答案A解析由0，得2x3成立等价于不等式ff(1)成立，所以解得m1.故选A.11对于每一个实数x，f(x)是y2x2和yx这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是()A2 B1 C0 D2答案B解析解法一：f(x)当x1时，函数f(x)的值域为(，1).故函数f(x)的值域为(，1，所以f(x)max1.故选B.解法二：画出函数f(x)的图象，如图所示：其中A(1，1)，B(
19、2，2)，故当x1时，函数f(x)的最大值为1.故选B.12(2022长春市普通高中高三质量监测)已知f(x)ex1e1xx，则不等式f(x)f(32x)2的解集是()A1，) B0，)C(，0 D(，1答案A解析依题意，得f(2x)f(x)2.所以f(2x)2f(x).又因为f(x)ex1e1xxex1x，所以f(x)是定义在R上的单调递增函数不等式f(x)f(32x)2，即f(32x)2f(x)，即f(32x)f(2x).所以32x2x.解得x1.所以不等式f(x)f(32x)2的解集是1，).故选A.13函数yx(x0)的最大值为 答案解析令t，则t0，ytt2，当t，即x时，ymax.
20、14(2022安徽蚌埠摸底)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上是增函数，则实数a的取值范围是 答案(，14，)解析作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在区间(a，a1)上是增函数，需满足a4或a12，即a1或a4.15函数yf(x)是R上的增函数，且yf(x)的图象经过点A(2，3)和B(1，3)，则不等式|f(2x1)|3的解集为 答案解析因为yf(x)的图象经过点A(2，3)和B(1，3)，所以f(2)3，f(1)3.又|f(2x1)|3，所以3f(2x1)3，即f(2)f(2x1)f(1).因为函数yf(x)是R上的增函数，所以22x11，即即所以x1.16
21、(2021安徽太和一中二模)若函数f(x)在定义域D内满足：对任意的x1，x2，x3D且x1x2x3，有f(x1)f(x2)f(x3)，则称函数f(x)为“类单调递增函数”下列函数是“类单调递增函数”的有 (填写所有满足题意的函数序号).f(x)；f(x)x2；f(x)ln x；f(x)sin x.答案解析对于，显然，即f(x1)f(x2)f(x3)，是“类单调递增函数”；对于，取x1x22，x33，此时xx8，x9，即f(x1)f(x2)f(x3)，不是“类单调递增函数”；对于，取x1x2x31，此时ln x1ln x20，ln x30，即f(x1)f(x2)f(x3)，不是“类单调递增函数
22、”；对于，x1，x2，x3，若x1x2，则sin x1sin x2sin x1cos x2sin x2cos x1sin (x1x2)sin x3，若x1x21sin x3，即f(x1)f(x2)f(x3)，是“类单调递增函数”，所以是“类单调递增函数”的有.17已知f(x)(xa).(1)若a2，证明：f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解(1)证明：当a2时，f(x).任取x1，x2(，2)，且x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)任取x1，x2(1，)，且1x1
23、0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，a的取值范围是(0，1.18(2021沈阳检测)函数f(x)x2x.(1)若函数f(x)的定义域为0，3，求f(x)的值域；(2)若f(x)的值域为，且定义域为a，b，求ba的最大值解因为f(x)，所以其图象的对称轴为直线x.(1)因为3x0，所以f(x)的值域为f(0)，f(3)，即.(2)因为当x时，f(x)是f(x)的最小值，所以xa，b，令x2x，得x1，x2，根据f(x)的图象知，当a，b时，ba取最大值.19定义在(0，)上的函数f(x)满足下面三个条件：对任意正数a，b，都有f(
24、a)f(b)f(ab)；当x1时，f(x)2的x的取值集合解(1)由f(a)f(b)f(ab)得f(1)f(1)f(1)，则f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)且x11得f0，则f(x2)f(x1)，函数f(x)在(0，)上是减函数(3)f(2)1，f(4)f(2)f(2)2，又f(4)ff(1)0，f2.又f(x)的定义域为(0，)，且在其上是减函数，解得x.故满足要求的x的取值集合为.20已知函数f(x)px(p，q为常数)，且满足f(1)，f(2).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的x，关于x的不等式f(x)2m 恒成立，求实数m的取值范围解(1)解得函数f(x)的解析式为f(x)2x.(2)解法一：由(1)可得f(x)2x.任取x1，x2，且x1x2，则f(x1)f(x2)2(x1x2)2(x1x2)，0x10，0x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)2x在区间上单调递减f(x)2x在区间上的最小值是f2.要使对任意的x，函数f(x)2m恒成立，只需f(x)min2m，即22m，解得m0.实数m的取值范围为0，).解法二：x，2x(0，1，2x22，当且仅当x时等号成立，f(x)2x在区间上的最小值为2，要使对任意的x，函数f(x)2m恒成立，只需f(x)min2m，即22m，解得m0，实数m的取值范围为0，).