1、第9讲抛物线(二)直线与抛物线的位置关系已知直线l：ykxm，抛物线y22px(p0)，联立得k2x22(mkp)xm20.(1)直线l与抛物线相切：k0，0；(2)直线l与抛物线相交：k0，0或k0；(3)直线l与抛物线相离：k0，0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|x1，|BF|x2，弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；(3)为定值；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴
2、垂直的弦长等于2p.1过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条D4条答案C解析设过点(0,1)，斜率为k的直线方程为ykx1.由得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，(*)式只有一个根；当k0时，(2k4)24k216k16，由0，即16k160得k1.所以k0或k1时，直线与抛物线只有一个公共点，又直线x0和抛物线只有一个公共点，故选C.2(2021辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB的中点C的横坐标是()A2BCD答案C解析因为AB是抛物线y22x的一条过焦点的弦，所以|AB|x1x2x1x21
3、4，所以x1x23，所以AB的中点C的横坐标是.故选C.3(2022山西运城模拟)已知抛物线x2ay与直线y2x2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()Ax2yBx26yCx23yDx23y答案D解析设点M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x22ax2a0，所以3，即a3，因此所求的抛物线方程为x23y.4已知直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为_答案0或1解析直线ykx2中，当k0时，y2，此时直线ykx2与抛物线y28x有且仅有一个公共点；当k0时，把ykx2代入抛物线y28x，得(kx2)28x，整理，得k2x2(4k8)x40，
4、直线ykx2与抛物线y28x有且仅有一个公共点，(4k8)216k20，解得k1.故k的值为0或1.5(2021沧州七校联考)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.答案解析解法一：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|3，由抛物线的定义知，点A到准线x1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x2代入y24x，得y28，所以点A的纵坐标为2，即A(2,2)，所以直线AF的方程为y2(x1)由解得或所以点B的横坐标为，所以|BF|(1).解法二：如图，不妨设点A在第一象限，设AFx，A(xA，yA)，B(xB，yB
5、)，则由抛物线的定义知xA123cos3，解得cos.又|BF|xB11|BF|cos12|BF|，所以|BF|.6已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A，B满足2，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_答案解析设A(xA，yA)，B(xB，yB)，2，xA12(xB1)，又xAxB1，xA2，xB，弦AB的中点到抛物线准线的距离为11.考向一抛物线的切线例1(1)过抛物线x24y上一点(4,4)的抛物线的切线方程为_答案y2x4解析解法一：设切线方程为y4k(x4)由x24(kx4k4)x24kx16(k1)0，由(4k)2416(k1)0，得k24k40.k2.故切线方程为y42(x4)，
6、即y2x4.解法二：由x24y得y，y.y|x42.切线方程为y42(x4)y2x4.(2)(2021安徽铜陵模拟)设抛物线x22py(p0), M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为xA，xB，xM，则下列关系：xAxB2xM；xAxBx；.其中正确的是_答案解析由x22py得y，所以y，所以直线MA的方程为y2p(xxM)，直线MB的方程为y2p(xxM)，所以2p(xAxM)，(*)2p(xBxM)，(*)由(*)(*)可得xAxB2xM，故正确(3)已知直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共点，则实数a的值为_答案0或1或解析联
7、立方程当a0时，此方程组恰有一组解当a0，消去x，得y2y10.a若a1，方程组恰有一组解b若a1，令0，得10，解得a，这时直线与曲线相切，只有一个公共点综上所述，a0或a1或a.(1)直线与抛物线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切(2)在讨论时应注意全面，不要忽略二次项的系数为零的情况1.已知抛物线C：y22px(p0)，过点M作C的切线，则切线的斜率为_答案1解析设斜率为k，则切线方程为yk，代入y22px中得k2x2p(k22)x0.0，即p2(k22)24k20.解得k21，所以k1.2(2021四川名校联考)过抛物线C：x24y的焦点F的直线l交C于A，B两点，点A处
8、的切线与x，y轴分别交于M，N两点若MON的面积为，则|AF|_.答案2解析由题可知，直线l的斜率存在，且过抛物线C：x24y的焦点F，与其交于A，B两点，设A.又yx2，所以y，所以点A处的切线方程为ya2(xa)令x0，可得ya2，即N；令y0，可得x，即M.因为MON的面积为，所以，解得a24，所以|AF|a212.考向二焦点弦问题例2已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p(为直线AB与x轴的夹角)；(3)SAOB；(4)为定值；(5)以AB为直径的圆与抛物线准线相切证
9、明(1)y22px(p0)的焦点为F，当k不存在时，直线AB的方程为x.假设A在x轴上方，则y1p，y2p，则y1y2p2，x1x2.当k存在时，设直线方程为yk(k0)由消去x，得ky22pykp20.y1y2p2，x1x2.因此总有y1y2p2，x1x2成立(2)由抛物线定义：|AF|等于点A到准线x的距离得|AF|x1，同理|BF|x2.|AB|AF|BF|x1x2p.90时，yk，xy.x1x2(y1y2)p.由方程知y1y2，x1x2p.将代入，得|AB|2p2p2p.当90时，|AB|y1y2|2p.综上所述，|AB|x1x2p.(3)假设A在x轴上方，SAOBSAOFSBOF|O
10、F|AF|sin()|OF|BF|sin|OF|sin(|AF|BF|)|OF|AB|sinsin.(4).又x1x2，代入上式，得，为定值(5)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，M，B作准线的垂线，垂足分别为C，N，D，如图则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.以AB为直径的圆与抛物线准线相切(1)解决焦点弦问题时，要注意以下几点：设抛物线y22px(p0)上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线y22px(p0)上，故满足y2px1，y2px2；利用yy4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.(2)利用抛物线的定义把
11、过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解3.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.BCD答案D解析易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin30，所以OAB的面积S|AB|d.4(2021贵阳市、黔东南州部分重点中学联考)已知抛物线M：x22py(p0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线M交于A(点A在第
12、二象限)，B两点，则()A.BC4D5答案A解析如图，直线CD为抛物线M的准线，ACCD，BDCD，AEBD.设|BE|3x，则|AB|5x，|BE|BD|AC|BF|AF|3x，|AB|AF|BF|5x，解得|AF|x，故.故选A.考向三直线与抛物线的综合问题例3已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得
13、2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23) .设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.求解直线与抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直
14、线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式5.(2021全国乙卷)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9，求直线OQ斜率的最大值解(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p2，所以C的方程为y24x.(2)由(1)知F(1,0)，
15、设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，(1x2，y2)，因为9，所以可得又点P在抛物线C上，所以y4x1，即(10y2)24(10x29)，化简得yx2，则点Q的轨迹方程为y2x.设直线OQ的方程为ykx，易知当直线OQ与曲线y2x相切时，斜率可以取最大，联立ykx与y2x并化简，得k2x2x0，令24k20，解得k，所以直线OQ斜率的最大值为.自主培优(十七) 化归思想解决抛物线中的比值问题1(2021陕西宝鸡模拟)已知点A(0,2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则p的值为_答案2解析依题意，得点F的
16、坐标为，设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义，知|MF|MK|，由，得|KN|KM|21，因为kFN，所以2，解得p2.2(2022安徽合肥模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线m与C交于A，B两点，AFBF，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，则的最小值为_答案解析如图所示，设抛物线的准线为l，作AQl于点Q，BPl于点P，由抛物线的定义可设|AF|AQ|a，|BF|BP|b，由勾股定理可知|AB|，由梯形中位线的性质可得|MN|，则，当且仅当ab时等号成立，即的最小值为.答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法转化为向量关系，或有
17、关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解对点训练1(2021吉林长春模拟)等腰直角三角形OAB内接于抛物线C：y22px(p0)，其中O为该抛物线的顶点，OAOB，OAB的面积为16，F为C的焦点，M为C上的动点，则的最大值为()A.BC.D答案C解析设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2，由|OA|OB|得xyxy，xx2px12px20，即(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20,2p0，x1x2，即A，B关于x轴对称，不妨设A点在x轴上方，直线OA的方程为yxtan45x，与抛物线的方程联立，解得或故|AB|4p，SOAB2p
18、4p4p2.OAB的面积为16，p2.焦点F(1,0)，设M(m，n)，则n24m，m0，设M到准线x1的距离等于d，则.令m1t，t1，则(当且仅当t3时，等号成立)故的最大值为，故选C.2(2021安徽宣城第二次调研)已知抛物线C：y22px(p0)，过焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AF|BF|，则_.答案3解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，直线l的倾斜角为60，直线l的方程为y0，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|x1，|BF|x2，联立方程消去y并整理，得12x220px3p20，解得x1，x2，|AF|x12p，|
19、BF|x2，3.1过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点如果x1x26，那么|AB|()A6B8C9D10答案B解析|AB|AF|BF|x1x2p8. 故选B.2若抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点的坐标是()A.B(0,0)C(1,2)D(1,4)答案A解析设与直线y4x5平行的直线为y4xm，由平面几何的性质可知，抛物线y4x2上到直线y4x5的距离最短的点即为直线y4xm与抛物线相切的点而对y4x2求导得y8x，又直线y4xm的斜率为4，所以8x4，得x，此时y421，即切点为.故选A.3(2022山西大同质检)已知抛物线C：y2
20、4x与直线y2x4交于A，B两点，焦点为F，则cosAFB()A.BCD答案D解析抛物线C：y24x的焦点为F，点F的坐标为(1,0)由得或令A(1，2)，B(4,4)，则(0，2)，(3,4)，cosAFB.故选D.4(2021安徽芜湖模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定是()A4B4Cp2Dp2答案A解析若焦点弦ABx轴，则 x1x2，则x1x2，y1y2p2，则4.若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：yk，与y22px联立，得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.y2px1，y2px2，yy4p2x1x2p4
21、.又y1y20)的焦点，过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点若|FA|FB|5，则直线l的斜率为()A3B1C2D答案B解析由于R(2,1)为AB的中点，设A(xA，yA)，B(xB，yB)根据抛物线的定义|FA|FB|xAxBp22p5，解得p1，抛物线方程为y22x.y2xA，y2xB，两式相减并整理得1，即直线l的斜率为1.故选B.8(2021东北三省四市一模)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过F且倾斜角为120的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|4，则抛物线C的准线方程为()Ax1Bx2Cx
22、Dx3答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线C的焦点为，知AF，BF的中点的纵坐标分别为，则|MN|y2y1|4，所以|y2y1|8.由题意知直线AB的方程为y，与抛物线方程y22px联立消去x，得y，即y22pyp20，所以y1y2p，y1y2p2，于是由|y2y1|8，得(y2y1)24y1y2192，所以24p2192，解得p6，3，所以抛物线C的准线方程为x3.故选D.9已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同点，则yy的最小值为()A12B24C16D32答案D解析当直线的斜率不存在时，方程为x4，由得y14
23、，y24，yy32.当直线的斜率存在时，由题意知直线的斜率一定不为0，设其方程为yk(x4)，由得ky24y16k0，y1y2，y1y216，yy(y1y2)22y1y23232.综上可知，yy32.yy的最小值为32.故选D.10(2022东城区月考)已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A.BCD答案D解析由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y(x2)设M(x0，y0)，则有yx0x0p.因为y0x，所以y0.所以p.故选
24、D.11. 如图，F是抛物线C：y22px(p0)的焦点，直线l过点F且与抛物线及其准线交于A，B，C三点若|BC|3|BF|，|AB|9，则抛物线C的标准方程是()Ay22xBy24xCy28xDy216x答案C解析如图，过点A，B分别作准线的垂线，分别交准线于点E，D.设准线与x轴的交点为G，|BF|a，则|BC|3a，|DB|a，.BCDACE，即3|AE|AC|.在RtACE中，|AB|9，|AC|93a，3(9a)93a，解得a3.BDFG，即，解得p4.抛物线C的标准方程为y28x.故选C.12(2021陕西宝鸡模拟)已知F是抛物线y24x的焦点，A，B在抛物线上，且ABF的重心坐
25、标为，则()A.BCD答案A解析设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，由焦点F(1,0)，ABF的重心坐标为，及重心坐标公式，得，即xAxB，yAyB1，由抛物线的定义可得|FA|FB|xA1(xB1)xAxB，由点在抛物线上可得作差得yy4xA4xB，整理得kAB4，代入弦长公式得|AB|yAyB|yAyB|，则.故选A.13过点(0,3)的直线l与抛物线y24x只有一个公共点，则直线l的方程为_答案yx3或y3或x0解析当直线l的斜率k存在且k0时，设直线l的方程为ykx3，与抛物线方程联立，得消去x整理，得ky24y120，当1648k0，即k时，直线l与抛物线只有一个交点，直线l的方
26、程为yx3；由图可知，当直线l的斜率为0或不存在时，直线l与抛物线也只有一个交点综上，过点(0,3)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线l的方程为yx3或y3或x0.14(2021郑州质检)设抛物线y216x的焦点为F，经过点P(1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2，则|AF|2|BF|_.答案15解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)P(1,0)，(1x2，y2)，(x11，y1)2，2(1x2，y2)(x11，y1)，x12x23.|AF|2|BF|x142(x24)x12x21215.15已知抛物线y24x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2,2)的直线l交抛物线于另一点N
27、，则_.答案解析抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，直线l过点F和点M(2,2)，直线l的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，点N的横坐标为.抛物线y24x的准线方程为x1，|NF|，|FM|3，.16过抛物线C：y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点(其中M点在第一象限)，若3，则直线l的斜率为_答案2解析解法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中y10，y20)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(2，y0)，使得MAMB，求直线l的方程解(1)抛物线C
28、：x22py(p0)的准线方程为y，焦点为F.当点A的纵坐标为1时，|AF|2，12，解得p2，抛物线C的方程为x24y.(2)点M(2，y0)在抛物线C上，y01，即M(2,1)易知直线l的斜率存在，又F(0,1)，设直线l的方程为ykx1.由得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24，(x12，y11)，(x22，y21)MAMB，0，(x12)(x22)(y11)(y21)0，48k44k20.解得k2或k0.当k0时，l过点M(舍去)，k2，直线l的方程为y2x1.18设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，
29、N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2)直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以ABMABN.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补
30、，ABMABN.综上，ABMABN.19(2022广西玉林模拟)已知F为抛物线C：y22px(p0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点，当直线与x轴垂直时，|AB|4.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标解(1)因为F，在抛物线方程y22px中，令x，得yp.于是当直线与x轴垂直时，|AB|2p4，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为yx1，又抛物线的准线方程为x1，直线AB与抛物线
31、的准线相交于点M，所以M(1，2)联立消去x得y24y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则y1y24，y1y24.若点P满足条件，则2kPMkPAkPB，即2，因为点P，A，B均在抛物线上，所以x0，x1，x2，代入化简，得，将y1y24，y1y24代入，解得y02.将y02代入抛物线方程，可得x01.于是点P(1，2)为满足题意的点20(2021张家口模拟)已知O为坐标原点，抛物线E：x22py(p0)与直线l：yx1交于A，B两点，且3.(1)求抛物线E的方程；(2)线段AB的中点为Q，过点Q且斜率为k的直线交抛物线E于C，D两点，若直线OC，OD分别与直线y2交于M，N两点，当|MN|时，求斜率k的值解(1)由消去y整理得x22px2p0.直线l与抛物线交于两点，4p28p4p(p2)0，解得p0或p0，故kR.设C，D，则x3x44k，x3x48k12，直线OC的方程为yx，令y2，得x，M，同理得N，|MN|888.解得k3，满足题意斜率k的值为3.