1、课时作业梯级练二十五正弦定理和余弦定理【基础落实练】（30分钟 60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1在ABC中，a2，b2，B45，则A为()A60或120 B60C30或150 D30【解析】选A.在ABC中，由正弦定理得，所以sin A.又ab，所以AB，所以A60或A120.2.已知ABC的内角分别为A,B,C,AC=,BC=2,B=60,则BC边上的高为()A.B.C.D.【解析】选B.由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即7=AB2+4-4ABcos 60,所以AB2-2AB-3=0,解得AB=3,所以BC边上的高为ABsin 60=.3在ABC中，A
2、60，a，b，则ABC解的情况是()A无解 B有唯一解C有两解 D不能确定【解析】选B.因为在ABC中，A60，a，b，所以根据正弦定理得sin B，因为A60，得BC120，所以由sin B，得B30，从而得到C90，因此，满足条件的ABC有且只有一个4(2020郑州模拟)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2 cos2C1，4sin B3sin A，ab1，则c的值为()A B C D6【解析】选A.由2cos2 cos2C1得2cos2 1cos2C0，即cos 2Ccos C0，即2cos 2Ccos C10，解得cos C或cos C1(舍)，由4sin B3si
3、n A得4b3a，又ab1，联立得a4，b3，所以c2a2b22ab cos C1691213，c.5.(2021泸州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,sin Acos C+(sin C+b)cos A=0,则角A=()A.B.C.D.【解析】选D.因为a=1,sin Acos C+(sin C+b)cos A=0,所以sin Acos C+sin Ccos A=-bcos A,所以sin(A+C)=sin B=-bcos A,所以asin B=-bcos A,由正弦定理可得:sin Asin B=-sin Bcos A.因为sin B0,所以sin A=-cos
4、 A,即tan A=-.因为A(0,),所以A=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.在ABC中,已知AB=,C=,则的最大值为.【解析】因为AB=,C=,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,所以由余弦定理得3=a2+b2-2abcos=a2+b2-abab,当且仅当a=b=时等号成立.又=abcos C=ab,所以当a=b=时,()max=.答案:7在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(b2sin C)cos A2sin A cos C，且a2，则ABC面积的最大值是_.【解析】因为(b2sin C)cos A2sin A cos C，所以b cos A2(sin
5、 C cos Asin A cos C)2 sin (AC)2sin B，则，结合正弦定理得，即tan A，A，由余弦定理得cos A，化简得b2c212bc2bc，故bc4，SABCbc sin A4 .答案：8.(2021绵阳模拟)如图,平面四边形ABCD中,ABC=ADC=90,BC=CD=2,点E在对角线AC上,AC=4,AE=1,则的值为.【解析】由题意可知CE=3,BCE=60,所以EB=,所以cosBEC=,所以cosBED=cos(2BEC)=2cos2BEC-1=.所以=1.答案:1三、解答题(每小题10分，共20分)9(2020柳州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别
6、为a，b，c，且(a2b2c2)(2sin Asin B)(a2c2b2)sin B.(1)求角C；(2)若c2，ABC的中线CD2，求ABC的面积【解析】(1)因为(a2b2c2)(2sin Asin B)(a2c2b2)sin B.所以2ab cos C(2sin Asin B)2ac cos B sin B.所以2sin A cos Csin (BC)sin A，又在ABC中，sin A0，所以cos C，又0C，所以C.(2)由得，a2b2ab16，由余弦定理得c2a2b22ab cos Ca2b2ab8，由两式得ab4，所以ABC的面积Sab sin C ab.10(2020清华附中
7、模拟)在ABC中，3sin A2sin B，tan C.(1)求cos 2C.(2)若ACBC1，求ABC的周长【解析】(1)因为tan C，所以cos C，所以cos 2C21.(2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.由3sin A2sin B及正弦定理得3a2b，又因为ACBCba1，所以a2，b3.由余弦定理得c2a2b22ab cos C13211，所以c，ABC的周长为5.【素养提升练】（20分钟 35分）1(2020重庆模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(bc)cos Aa cos C，则cos A()A B C D【解析】选C.在ABC中，由，
8、又(bc)cos Aa cos C，所以(sin Bsin C)cos Asin A cos C，则sin B cos Asin C cos Asin A cos C，sin B cos Asin A cos Csin C cos A，则sin B cos Asin (AC)sin (B)sin B，又sin B0，所以cos A.2(2020揭阳模拟)已知ABC中，ABAC3，sin ABC2sin A，延长AB到D使得BDAB，连接CD，则CD的长为()A BC D3【解析】选C.因为sin ABC2sin A，所以AC2BC，即BC，因为BDAB，所以0，CD2，CD.3.(5分)(20
9、21成都模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足b2-a2=ac,则-的取值范围是.【解析】方法一:原式可化为-=-=.由b2-a2=ac得,b2=a2+ac=a2+c2-2accos B,即a=c-2acos B,也就是sin A=sin C-2sin Acos B,即sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin(B-A),由于ABC为锐角三角形,所以有A=B-A,即B=2A,故-=,在锐角三角形ABC中易知,B,sin Ba,即1,在锐角三角形ABC中有b2+a2c2,则a2+a2+acc2,即-20,解得-12,因此,10,所以sin B=.又B,所以cos B=,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=4,又4=a2+c2-ac2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立,所以ac4,所以ABC的面积的最大值为S=acsin B=4=.