1、72.2同角三角函数关系新课程标准解读核心素养1.理解同角三角函数基本关系式：sin2xcos2x1，tan x逻辑推理、数学运算2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值(简称“知一求二”)及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题逻辑推理、数学运算因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系如图，设点P(x，y)是角的终边与单位圆的交点问题你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？知识点同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin2cos21
2、同一个角的正弦、余弦的平方和等于商数关系tan_同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切同角三角函数的基本关系解读(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23cos231成立，但是sin2cos21就不一定成立；(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2cos21对一切R恒成立，而tan 仅对k(kZ)成立1两个公式成立的条件分别是什么？提示：公式sin2cos21对R成立，公式tan 适用的条件为.2对任意的角，sin22cos221是否成立？提示：成立1
3、判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)对xR，sin24xcos24x1.()(2)对xR，tan x.()(3)若cos 0，则sin 1.()答案：(1)(2)(3)2已知，sin ，则cos 等于_答案：3已知cos ，则tan _答案：4化简：(1tan2)cos2等于_答案：1利用同角基本关系式求值例1(链接教科书第173页例5)(1)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A. BC. D(2)已知tan 2，则_解析(1)因为为第四象限的角，故cos ，所以tan .(2)因为tan 2，所以3.答案(1)D(2)3母题探究(变设问)在本例(2)的条件下，求4si
4、n23sin cos 5cos2的值解：因为tan 2，所以4sin23sin cos 5cos21.1求三角函数值的方法(1)已知sin (或cos )求tan 常用以下方式求解(2)已知tan 求sin (或cos )常用以下方式求解当角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角分区间(象限)讨论2已知角的正切求关于sin ，cos 的齐次式的方法(1)关于sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，再代入求值；(2)若无分母时，把分母看作1，并
5、将1用sin2cos2来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于tan 的式子，再代入求值跟踪训练1已知tan ，则sin ()A. BC D解析：选D由tan ，得cos 2sin .又因为sin2cos21，所以sin24sin21，即sin2.因为，所以sin .故选D.2(2021溧阳市高一月考)已知tan 2，则sin cos 的值是()A BC D解析：选Bsin cos .3已知，求下列各式的值：(1)；(2)14sin cos 2cos2.解：，解得tan 2.(1)原式1.(2)原式sin24sin cos 3cos2.利用同角三角函数关系化简例2(链接教科书第174页例
6、7)化简下列各式：(1)cos4sin2(1cos2)；(2).解(1)原式cos4sin2cos2sin2cos2(cos2sin2)sin2cos2sin21.(2)原式tan .三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的跟踪训练1化简.解：2tan2.2若，化简.解：因为，所以cos ，sin ，所以原式0.利用同角三角函数关系证明例3
7、(链接教科书第174页例8)求证：.证明法一：由tan sin 0，于是右边左边，所以原等式成立法二：因为左边，右边，所以左边右边，原等式成立证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等；(3)比较法：即证左边右边0或证1；(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想跟踪训练求证：.证明：法一：左边右边，原等式成立法二：右边，左边，左边右边，原等式成立.sin cos 与sin
8、cos 关系的应用例4已知sin cos ，求：(1)sin cos ；(2)sin cos .解(1)由sin cos ，平方得2sin cos ，sin cos .(2)(sin cos )212sin cos 1，sin cos .已知sin cos ，sin cos 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解涉及的三角恒等式有：(1)(sin cos )212sin cos ；(2)(sin cos )212sin cos ；(3)(sin cos )2(sin cos )22；(4)(sin cos )2(sin cos )24sin cos .跟踪训练1已知sin cos
9、 ，则sin cos 等于()A. BC D解析：选C由已知得(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，又sin2cos21，12sin cos ，sin cos .故选C.2若0，sin cos ，求sin cos .解：0，sin cos 0，cos 0.sin cos .1下列四个结论中可能成立的是()Asin 且cos Bsin 0且cos 1Ctan 1且cos 1D是第二象限角时，tan 解析：选B根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当时，sin 0且cos 1，故B成立，而A、C、D都不成立2已知sin ，且|，则tan ()A BC D解析：选Csin ，cos21sin21，又|，即，cos ，从而tan .3若sin cos ，则sin cos ()A BC. D2解析：选B因为sin cos ，所以(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，即12sin cos ，所以sin cos .故选B.4化简：_解析：原式 |cos 40sin 40|cos 40sin 40.答案：cos 40sin 405如果tan 2，那么1sin cos _解析：1sin cos .答案：