1、第四节数列求和A组基础题组1.数列an,bn(nN*)都是等差数列,a1=2,b1=8,且a20+b20=50.则an+bn的前20项的和为()A.600B.610C.620D.6302.已知数列an的通项公式是an=2n-3,则其前20项和为()A.380-B.400-C.420-D.440-3.(2016德州模拟)数列an的通项公式为an=ncos,其前n项和为Sn,则S2016等于()A.1008B.2016C.504D.04.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1)处的切线的斜率为3,数列的前n项和为Sn,则S2016的值为()A.B.C.D.5.已知数列an中,an=-
2、4n+5.等比数列bn中,公比q满足q=an-an-1(n2)且b1=a2,则|b1|+|b2|+|b3|+|bn|=()A.1-4nB.4n-1C.D.6.(2016重庆第一次适应性测试)在数列an中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有am+k=am+ak,则an的前n项和Sn=.7.在数列an中,a2=4,a3=15,若Sn为an的前n项和,且数列an+n是等比数列,则Sn=.8.(2015课标,16,5分)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.9.(2016天津,18,13分)已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且-=,S6=63.(1
3、)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)n的前2n项和.10.(2016郑州模拟)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.B组提升题组11.(2016江西高安中学等九校联考)已知数列5,6,1,-5,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于()A.5B.6C.7D.1612.(2016南昌模拟)已知数列an,bn满足a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数i,
4、j,k,l,当i+j=k+l时,都有ai+bj=ak+bl,则(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+(a2017+b2017)的值为()A.2016B.2017C.2018D.201913.(2016广西高三适应性测试)已知数列的前n项和Sn=n2,则数列的前n项和Tn=.14.已知数列an满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2016项的和等于.15.已知数列an的前n项和Sn=-n2+kn(其中k为常数,且kN*),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列的前n项和Tn.16.(2016济南模拟)已知公比q不为1的等比数列an的首项a1=,前n项和为Sn,且
5、a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)对nN*,在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数成等差数列,记插入的这n个数的和为bn,求数列bn的前n项和Tn.答案全解全析A组基础题组1.A由题意知an+bn也为等差数列,所以an+bn的前20项和为S20=600.2.C由an=2n-3,得其前20项和S20=2(1+2+20)-3=2-3=420-.3.A易知a1=cos=0,a2=2cos=-2,a3=0,a4=4,.所以数列an的所有奇数项为0,前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为-2,4,-6,8,-2014,2016.故S2016=
6、0+(-2+4)+(-6+8)+(-2014+2016)=1008.4.D因为f(x)=2x+b,所以f(1)=2+b=3,所以b=1,所以f(x)=x2+x,所以=-,所以S2016=1-+-+-=1-=.5.B由已知得b1=a2=-3,q=-4,bn=(-3)(-4)n-1,|bn|=34n-1,即|bn|是以3为首项,4为公比的等比数列.|b1|+|b2|+|bn|=4n-1.6.答案n(n+1)解析依题意得an+1=an+a1,即有an+1-an=a1=2,所以数列an是以2为首项,2为公差的等差数列,an=2+2(n-1)=2n,Sn=n(n+1).7.答案3n-1解析an+n是等比
7、数列,数列an+n的公比q=3,则an+n的通项为an+n=(a2+2)3n-2=63n-2=23n-1,则an=23n-1-n,Sn=-=3n-1.8.答案-解析由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1知Sn0,则有-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1+(n-1)(-1)=-n,所以Sn=-.9.解析(1)设数列an的公比为q.由已知,有-=,解得q=2,或q=-1.又由S6=a1=63,知q-1,所以a1=63,得a1=1.所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,
8、即bn是首项为,公差为1的等差数列.设数列(-1)n的前n项和为Tn,则T2n=(-+)+(-+)+(-+)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n2.10.解析(1)由题意得,5a3a1=(2a2+2)2,将a3=a1+2d,a2=a1+d及a1=10代入,并化简得d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn,因为d0,所以由(1)得d=-1,an=-n+11,则当n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-n2+n;当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11
9、=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=B组提升题组11.C根据题意,这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,易得从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=26+4,所以这个数列的前16项之和S16=20+7=7.故选C.12.D由题意易知a1+b2=a2+b1,b2=2+2-1=3,又b1+a3=a2+b2,a3=2+3-2=3,又a3+b2=a2+b3,b3=3+3-2=4.同理可得a4=4,b4=5,a2017=2017,b2017=2018,所以(a1
10、+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+(a2017+b2017)=(1+2018)2017=2019.13.答案解析由题意得=2n-1.=,Tn=.14.答案1512解析因为a1=,an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得an=故数列的前2016项的和S2016=1008=1512.15.解析(1)当n=k时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=-n(n2).又a1=S1=,所以an=-n(nN*).(2)令bn=,则Tn=b1+b2+bn=1+,所以Tn=2Tn-Tn=2+2+-1+=2+1+-=4-=4-.16.解析(1)因为a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,所以2(a5+S5)=a4+S4+a6+S6,化简得2a6-3a5+a4=0,2q2-3q+1=0,解得q=(q=1舍去),故an=.(2)记插入的n个数为xi(i=1,2,n),由(1)及等差数列的性质及前n项和公式可知x1+xn=an+an+1,bn=n,所以Tn=1+2+3+(n-1)+n,Tn=1+2+3+(n-1)+n,-得Tn=+-n=Tn=.
